Polinomio caratteristico

Sappiamo che ad una trasformazione è possibile associare una matrice \( \mathrm A\) della trasformazione. Inserendo la matrice \( \mathrm A\) nell'espressione precedente perveniamo alla seguente espressione.

$$ {\Large (\mathrm A-\lambda\mathbb I)x = 0 } $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \begin{pmatrix} a_{11}-\lambda && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && a_{22}-\lambda && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \ldots && a_{nn}-\lambda \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ {\Large (\mathrm A-\lambda\mathbb I)x = 0 } $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \begin{pmatrix} a_{11}-\lambda && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && a_{22}-\lambda && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \ldots && a_{nn}-\lambda \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ {\Large (\mathrm A-\lambda\mathbb I)x = 0 } $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \begin{pmatrix} a_{11}-\lambda && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && a_{22}-\lambda && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \ldots && a_{nn}-\lambda \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$

Osservate la matrice! Si tratta di una matrice diagonale, che annulla un vettore, cioè, se interpretate la matrice come operatore, allora l'effetto dell'applicazione di questo operatore ad un vettore \( x\) corrisponde all'annullamento del vettore \( x\); ebbene, attraverso questa espressione, si perviene alla condizione per l'esistenza delle soluzioni:

$$ det(\mathrm{A-\lambda \mathbb I}) = 0 \rightarrow \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && a_{22}-\lambda && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \ldots && a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 $$ $$ det(\mathrm{A-\lambda \mathbb I}) = 0 \rightarrow \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && a_{22}-\lambda && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \ldots && a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 $$ $$ \large det(\mathrm{A-\lambda \mathbb I}) = 0 $$ $$\downarrow $$ $$ \small \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && a_{22}-\lambda && \ldots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \ldots && a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 $$

Dalle proprietà dei determinanti, ricordo che il determinante di una matrice diagonale è pari al prodotto degli elementi della diagonale, da quì si giunge all'importantissima nozione di polinomio caratteristico

$$ \large p(\lambda) = \prod_{i=1}^n\bigl( a_{ii}-\lambda \bigr) = 0 $$ $$ \downarrow $$ $$ (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\ldots(a_{nn}-\lambda) = 0 $$

Le radici del polinomio caratteristico, sono gli autovalori di \( \mathrm A\).

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