Consideriamo due oggetti \( \mathrm X \) e \( \mathrm Y \) appartenenti ad un dato insieme \( \mathrm G \). Questi due oggetti possono essere matrici, funzioni, tensori ecc.
Il commutatore è un'operazione binaria interna a \( \mathrm G \) che associa a due elementi di \( \mathrm G \), un altro elemento di \( \mathrm G \).
$$ \large [\cdot, \cdot]: \mathrm G \times \mathrm G \rightarrow \mathrm G $$Supponiamo di prendere come \( \mathrm X\) ed \( \mathrm Y\), due endomorfismi appartenenti allo spazio degli endomorfismi \( \mathbb{End}(\mathrm E) \) il commmutatore è definito dalla seguente espressione:
$$ \large [\mathrm X, \mathrm Y] = \mathrm{XY-YX} $$ o equivalentemente: $$ \mathrm{XY} = \mathrm{YX} + [\mathrm X, \mathrm Y] $$
Il nome "commutatore" deriva dalla definizione: "si fa la differenza dei prodotti commutati". O meglio, guardando alla seconda definizione esso è "quanto manca" per rendere i prodotti commutabili. Questa differenza è una sorta di "grado di misura" se gli oggetti commutano. Quando commutano evidentemente \( \mathrm{XY} \) è uguale a \( \mathrm{YX} \) e quindi il commutatore è nullo: \( [\mathrm X, \mathrm Y] = \mathrm{XY} - \mathrm{XY} = 0 \) $$ \diamond\diamond\diamond $$Il commutatore gode di una serie di proprietà che ne caratterizzano una struttura cosiddetta ad Algebra di Lie. Vediamo di cosa si tratta più in dettaglio:
Antisimmetria
Il commutatore non è commutativo. Dalla definizione si ha che:
$$ \large [\mathrm X, \mathrm Y] = - [\mathrm Y, \mathrm X] $$ $$ \downarrow $$ $$ [\mathrm X, \mathrm Y] = \mathrm{XY - YX} $$ $$ [\mathrm Y, \mathrm X] = \mathrm{YX - XY} = -(\mathrm{XY - YX}) $$
Bilinearità del commutatore
Il commutatore è una forma bilineare.
$$ \large \left[\sum_{k=1}^n c_k \mathrm X_k, \mathrm Y\right] = \sum_{k=1}^n c_k [\mathrm X_k, \mathrm Y] $$
Identità di Jacobi
Il commutatore gode di questa particolare proprietà.
$$ \large [\mathrm X,[\mathrm Y, \mathrm Z]] + [\mathrm Y,[\mathrm Z, \mathrm X]] + [\mathrm Z,[\mathrm X, \mathrm Y]] = 0 $$