Consideriamo due oggetti \( \mathrm X \) e \( \mathrm Y \) appartenenti ad un dato insieme \( \mathrm G \). Questi due oggetti possono essere matrici, funzioni, tensori ecc.

Il commutatore è un'operazione binaria interna a \( \mathrm G \) che associa a due elementi di \( \mathrm G \), un altro elemento di \( \mathrm G \).

$$ \large [\cdot, \cdot]: \mathrm G \times \mathrm G \rightarrow \mathrm G $$
La definizione del commutatore

Supponiamo di prendere come \( \mathrm X\) ed \( \mathrm Y\), due endomorfismi appartenenti allo spazio degli endomorfismi \( \mathbb{End}(\mathrm E) \) il commmutatore è definito dalla seguente espressione:

$$ \large [\mathrm X, \mathrm Y] = \mathrm{XY-YX} $$ o equivalentemente: $$ \mathrm{XY} = \mathrm{YX} + [\mathrm X, \mathrm Y] $$

Il nome "commutatore" deriva dalla definizione: "si fa la differenza dei prodotti commutati". O meglio, guardando alla seconda definizione esso è "quanto manca" per rendere i prodotti commutabili. Questa differenza è una sorta di "grado di misura" se gli oggetti commutano. Quando commutano evidentemente \( \mathrm{XY} \) è uguale a \( \mathrm{YX} \) e quindi il commutatore è nullo: \( [\mathrm X, \mathrm Y] = \mathrm{XY} - \mathrm{XY} = 0 \)

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Proprietà del commutatore (Algebra di Lie)

Il commutatore gode di una serie di proprietà che ne caratterizzano una struttura cosiddetta ad Algebra di Lie. Vediamo di cosa si tratta più in dettaglio:

Antisimmetria

Il commutatore non è commutativo. Dalla definizione si ha che:

$$ \large [\mathrm X, \mathrm Y] = - [\mathrm Y, \mathrm X] $$ $$ \downarrow $$ $$ [\mathrm X, \mathrm Y] = \mathrm{XY - YX} $$ $$ [\mathrm Y, \mathrm X] = \mathrm{YX - XY} = -(\mathrm{XY - YX}) $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Bilinearità del commutatore

Il commutatore è una forma bilineare.

$$ \large \left[\sum_{k=1}^n c_k \mathrm X_k, \mathrm Y\right] = \sum_{k=1}^n c_k [\mathrm X_k, \mathrm Y] $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Identità di Jacobi

Il commutatore gode di questa particolare proprietà.

$$ \large [\mathrm X,[\mathrm Y, \mathrm Z]] + [\mathrm Y,[\mathrm Z, \mathrm X]] + [\mathrm Z,[\mathrm X, \mathrm Y]] = 0 $$