Si cerca di esprimere \(q(x) \) come somma algebrica di quadrati, a patto che i quadrati siano linearmente indipendenti. Dopodiché va fatto il seguente conteggio:
- \( n_+ \): Corrisponde al numero di termini quadri col segno \(+\)
- \( n_- \): Corrisponde al numero di termini quadri col segno \(-\)
- \( n_0 \): Si ottiene facendo la differenza.
Consideriamo la forma quadratica \( q(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2 \).
Se aggiungiamo e togliamo il termine \( {9y^2\over 4} \) otteniamo la seguente espressione equivalente:
$$ x^2 + 3xy + {9y^2\over 4} - {9y^2\over 4} + 2y^2 $$
E' facile verificare (esercizio) che primi tre termini rappresentano un quadrato, in particolare \( (x + {3y\over 2})^2 \), di conseguenza possiamo esprimere \( q \) nel modo seguente, come somma algebrica di termini quadri:
$$ \left(x + {3y\over 2}\right)^2 - {1\over 4}y^2 $$
Ora basta contare i termini quadri col segno \( + \) davanti e quelli col segno \( - \).
- \( n_+ = 1\)
- \( n_- = 1\)
- \( n_0 = 0\)
Quindi la forma è indefinita.
\( \hspace{2mm} e^{i\pi} +1 = 0 \)
