Una Forma quadratica si può rappresentare attraverso una matrice simmetrica e viceversa (ogni matrice simmetrica rappresenta una forma quadratica), vediamo perchè.

Riprendiamo la forma quadratica generica in \( x\) ed \(y\) data dall'espressione: \( q(x, y) = ax^2 + by^2+cxy \). Ora prendiamo la seguente matrice \( 2\times 2 \) $$ \begin{pmatrix} a & {c\over 2} \\ {c\over 2} & b \end{pmatrix} $$

E' facile verificare che la forma quadratica si ottiene svolgendo il seguente prodotto. $$ q(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & {c\over 2} \\ {c\over 2} & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$ O più abbreviatamente, se indichiamo la matrice con \( A\) ed il vettore con \( x\): $$ q(x) = x^TAx $$

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Rappresentazione mediante prodotto scalare

Siccome il prodotto \( Ax \) è un vettore colonna \(n\times 1\), dove \(n\) rappresenta il numero di variabili della forma quadratica, se facciamo il trasposto dello stesso vettore con \( Ax \), otteniamo un prodotto righe per colonne, che si può interpretare come prodotto scalare: $$ q(x) = x^TAx = \langle x, Ax \rangle $$

\( \small \heartsuit\hspace{1mm} \)Osservazione:
Una forma quadratica è uno scalare. Sostituendo dei valori al posto delle variabili \( x, y ... \) si ottiene un numero.

\( \small \spadesuit\hspace{0mm} \) Esercizi:
Scrivi le matrici delle seguenti forme quadratiche.

  • \( 2x^2 + y^2 \)
  • \( x^2 - z^2 \)
  • \( y^2 + w^2 +5xy-6zw + \sqrt 2 xz \)
  • \( x^2+y^2+z^2\)

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