Il Metodo di Sylvester funziona bene a patto che i determinanti degli orlati siano diversi da \( 0\). Cosa fare se allora uno dei minori orlati si annulla? Si può utilizzare il metodo avanzato in cui l'ordine degli orlati può variare (il metodo ci garantisce che il risultato sarà analogo). Per capire il metodo vediamolo in azione su un esempio:

Consideriamo la forma quadratica \( q(x, y, z) = z^2 + y^2 -3z^2 + 4xz -2yz \),
avente matrice simmetrica di ordine \( 3\times 3 \).
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} $$ Se provassi ad operare un Sylvester partendo dall'elemento in alto a sinistra avrei che il secondo determinante sarebbe nullo, e l'algoritmo si arresterebbe. Per evitare lo \( 0 \) partiamo dall'elemento "sud-est" "\(a_{33}\)" e orliamo la sequenza \( S3, S1 \):


S3

S3-S1

Il primo minore sarà il determinante \( 1\times 1 \)

$$ \begin{vmatrix} a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1$$

Il secondo minore sarà il determinante \( 2\times 2 \) che si ottiene aggiungendo ora la prima riga e la prima colonna

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-4 = -1$$

L'ultimo determinante sarà completo


S3-S1-S2
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \ldots = -1 $$
  • Scrivo la successione dei segni dei determinanti ed aggiungo un segno \( + \) a sinistra:
    $$ \color{#990000}{+}+-- $$ Abbiamo: permanenza, variazione, permanenza

  • Faccio il seguente conteggio degli indici:
    • \( n_0 = 0 \)
    • \( n_+ = 2 \)
    • \( n_- = 1 \)
  • possiamo concludere che avremo \( 2\) autovalori positivi ed \( 1\) autovalore negativo.


    $$ \diamond $$