Equazioni del piano

Per descrivere un piano possiamo impiegare indistintamente sia la forma cartesiana, che la forma parametrica. Il come usarle e quando, dipende dal contesto e dalla comodità d'uso. Ad esempio per descrivere l'intersezione di due piani possiamo impiegare la forma cartesiana, costruendo un sistema lineare di \( 2\) equazioni in \( 3\) incognite. Vediamo quindi le due forme.

$$ \diamond\diamond $$
Equazione cartesiana del piano

Un piano in forma cartesiana, si presenta come: $$ \large ax + by + cz + d = 0 $$ Come accade per le rette, se il piano passa per l'origine, la \( d = 0\) e quindi si ha che: $$ \large ax+by+cz = 0$$ Il significato geometrico della forma cartesiana, riguarda il prodoto scalare. Infatti l'equazione cartesiana è una richiesta di perpendicolarità fra il vettore \( (a, b, c)\) ed un qualsiasi vettore del piano \( (x, y, z)\). $$ \langle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \rangle = 0 $$ Il vettore \( (a, b, c)\) assume quindi un ruolo geometrico importantissimo. esso p un vettore perpendicolare al piano.

Esempio

Come esempio, se prendiamo il piano di equazione: $$ 2x-3y+z = 0 $$ Il vettore $$ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Risulta perpendicolare al piano come in figura:

Vettore perpendicolare ad un piano


Equazione parametrica del piano

La forma parametrica di un piano è praticamente simile a quella della retta. Per questo motivo, spesso si preferisce utilizzare questa. Quello che cambia sono il numero di componenti nei vettori (che questa volta sono due vettori di \( \mathbb R^3 \) anzichè uno di \( \mathbb R^2 \)) ed il numero di parametri che sono due \( t\) ed \( s\), ma la struttura dell'equazione è la stessa, così come l'interpretazione geometrica.

Piano per l'origine$$ t\vec v + s\vec w $$
Piano in parametrica passante per l'origine

Piano in generale$$ \vec p + t\vec v + s\vec w $$
Piano in parametrica non passante per l'origine


Per capire il significato geometrico della forma parametrica osserviamo le figure in alto. I vettori \( \vec v\) e \( \vec w\) sono i generatori del sottospazio, infatti tutte le combinazioni lineari dello \( \mathbb Span\bigl( \vec v, \vec w \bigr) \), formano il piano per l'origine. Per avere la forma generica basta sommare il vettore \( \vec p\) il quale provoca una traslazione del piano per l'origine nel punto individuato dalla testa di \( \vec p\)

Detto in altri termini: i due piani \( t\vec v + s\vec w \) e \( \vec p + t\vec v + s\vec w \) sono paralleli. E questo è evidente perchè i vettori \( \vec v\) e \( \vec w\) individuano le direzioni del piano.

Esempio

Come esempio, se prendiamo il piano di equazione: $$ \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Riconosciamo subito i vettori \( \vec p\) ( partenza o traslazione dall'origine) ed i vettori \( \vec v\) e \( \vec w\) ( generatori).

$$ \diamond\diamond $$
Piani come sottospazi

Sempre rimanendo nel discorso della forma parametrica, se consideriamo il piano: $$ \vec p + t\vec v + s\vec w $$ Possiamo riscrivere il tutto nella forma (esplicitando le componenti): $$ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$ Oppure, analogamente: $$ \left( p_1 + v_1t + w_1s, p_2 + v_2t + w_2s, p_3 + v_3t + w_3s \right) $$ dove: $$ \begin{cases} x = p_1 + v_1t + w_1s \\ y = p_2 + v_2t + w_2s \\ z = p_3 + v_3t + w_3s \end{cases} $$

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