Cartesiana \( \rightarrow\) Parametrica

Vediamo ora di risolvere il problema del passaggio dalla forma cartesiana alla parametrica. Il discorso è simile alle rette, tranne per alcune cose che vedremo nel corso di questo paragrafo.

$$ \diamond\diamond $$
Metodo dei tre punti

Supponiamo di conoscere la forma cartesiana di un piano \( ax + by + cz + d = 0\). Come possiamo passarlo in parametrica. Esistono diversi modi di svolgere questo esercizio. La cosa più semplice da fare consiste nel costruire direttamente l'equazione parametrica a partire da \( 3\) punti del piano (vettori). Una volta determinati questi tre punti (magari dando dei valori a piacere ad \( x, y, z)\)), se questi punti sono \( \mathrm A\equiv(a_1, a_2, a_3)\), \( \mathrm B\equiv(b_1, b_2, b_3)\) e \( \mathrm C\equiv(c_1, c_2, c_3)\) la forma parametrica si costruisce in questo modo: $$ \mathrm A + t(\mathrm{B-A}) + s(\mathrm{C-A}) $$ $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} $$ Il motivo della validità di questa formula, si evince dalla figura in basso. Come potete vedere, i vettori \( \mathrm{B-A} \) e \( \mathrm{C-A} \), individuano le due direzioni per generare il piano. Naturalmente essi devono essere (è sono) linearmente indipendenti.

Direzioni piano in parametrica

Vi faccio osservare inoltre che possiamo utilizzare al posto di \( \mathrm{B-A} \) e \( \mathrm{C-A} \) un qualunque multiplo di essi oppure anche \( \mathrm{A-B} \) e \( \mathrm{A-C} \) (infatti si inverte solo la direzione ma il piano è lo stesso). Possiamo anche cambiare il punto \( \mathrm A\) con un qualsiasi altro punto del piano. Questo ci suggerisce che la forma parametrica è molto flessibile come equazione. $$ \diamond\diamond $$
Esempio

Consideriamo il piano di equazione $$ 2x-3y+z -1 = 0 $$ Portiamo il piano in forma esplicita: \( z = -2x+3y+1\) ed diamo dei valori ad \( x\) ed \( y\): $$ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow z = 1 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{cases} x = {1\over 2} \\ y = {1\over 3} \end{cases} \Rightarrow z = 1 \rightarrow \begin{pmatrix} {1\over 2} \\ {1\over 3} \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow z = 2 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ Una volta trovati i tre punti, scegliamone una come vettore di partenza ad esempio \( (0, 0, 1)\), ed utilizziamo gli altri due per determinare le direzioni di generazione del piano: $$ (1,1,2)-(0,0,1) = (1,1,1) $$ $$ ({1\over 2},{1\over 3},1)-(0,0,1) = ({1\over 2},{1\over 3},0) $$ La forma parametrica risulta allora: $$ (0, 0, 1) + t(1,1,1) + s({1\over 2}, {1\over 3},0) $$


BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath