Parametrica \( \rightarrow\) Cartesiana

Vediamo ora di risolvere il problema del passaggio dalla forma parametrica alla cartesiana. Il discorso è simile alle rette, tranne per alcune cose che vedremo nel corso di questo paragrafo.

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Metodo del sistema

Supponiamo di essere in possesso di un piano in forma parametrica. $$ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$ Sappiamo che la forma parametrica, è per l'appunto una parametrizzazione di un piano visto come una superficie. Di conseguenza sappiamo che : $$ \left( \overset{\underbrace{p_1 + v_1t + w_1s}}{x}, \overset{\underbrace{p_2 + v_2t + w_2s}}{y}, \overset{\underbrace{p_3 + v_3t + w_3s}}{z} \right) $$ Per ricavare la forma cartesiana, basta quindi risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite \( t\) ed \( s\) $$ \begin{cases} x = p_1 + v_1t + w_1s \\ y = p_2 + v_2t + w_2s \\ z = p_3 + v_3t + w_3s \end{cases} $$

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Esempio

Consideriamo il piano di equazione $$ $$


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