Dalla forma parametrica alla forma esplicita

Per passare dalla forma parametrica alla forma esplicita e quindi volendo implicita (visto che si può passare facilmente dalla esplicita all'implicita) ci sono due modi. Il primo più laborioso e diretto consiste ne prendere due punti della retta parametrica (assegnando due tempi \( t\)) ed imporre poi la retta passante per i due punti. Il secondo consiste nel risolvere un sistema lineare.

$$ \diamond\diamond $$
Metodo della retta per due punti

Consideriamo una retta in forma parametrica: $$ (3, 4) + t(-1, 2) $$ Assegnamo due valori di \( t\): $$ (t=0) \rightarrow (3, 4) $$ $$ (t=1) \rightarrow (3, 4) + (-1, 2) = (2, 6) $$ A questo punto consideriamo la retta per due punti nella forma generale (dalla geometria analitica) $$ {y-y_1 \over y_2-y_1} = {x-x_1 \over x_2 - x_1} $$ Sostituiamo le coordinate nella formula, sapendo che: $$ \large (\underset{\underset{x_1}{\uparrow}}{3}, \underset{\underset{x_2}{\uparrow}}{4}) \hspace{2cm} (\underset{\underset{y_1}{\uparrow}}{2}, \underset{\underset{y_2}{\uparrow}}{6}) $$ $$ {y-y_1 \over y_2-y_1} = {x-x_1 \over x_2 - x_1} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{align} {y-2 \over 6-2} = {x-3 \over 4-3} \\ {y-2 \over 4} = x-3 \\ y - 2 = 4(x-3) \\ y = 4x -10 \end{align} $$

Metodo del sistema lineare

Riconsideriamo la retta in forma parametrica: $$ (3, 4) + t(-1, 2) $$ Il metodo più rapido per passare dalla forma parametrica alla cartesiana, consiste nel risolvere il seguente sistema: $$ \begin{cases} x = 3-t \\ y = 4 + 2t \end{cases} $$ Per risolvere il sistema bisogna eliminare la \( t\), Ricaviamola dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda: $$ t = 3-x $$ $$ y = 4 + 2(3-x) $$ Riscrivendo, otteniamo l'equazione nella forma richiesta: $$ y = -2x + 10 $$

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