Retta in forma esplicita

La forma esplicita della retta si presenta nello "stile delle funzioni", cioè la variabile dipendente \( y\) è funzione della variabile indipendente \( x\), ovvero è qualcosa della forma \( y = f(x) \). In particolare si tratta della forma: $$ \Large y = mx + q $$

$$ \diamond\diamond $$

Analizziamo il significato dei simboli che compaiono nell'espressione. Preso un punto di coordinate \( x_0, y_0\), esso appartiene alla retta se e solo se i valori \( x_0\) ed \( y_0\) soddisfano alla equazione, quando questi vengono sostituiti nella formula in alto. Ma passiamo al significato dei simboli:

Sul significato di \( x\) ed \( y\) c'è poco da dire, essi rappresentano dei punti generici del piano, cosa più interessante è capire il significato di \( m\) e di \( q\). Per capirlo guardiamo i grafici in basso. Osserviamo che per ottenere \( q\) basta porre \( x=0\), mentre per ottenere \( m\) basta manipolare un po l'espressione fino ad ottenere: \( m = {y-q \over x}\).

Retta Esplicita
Retta Esplicita
Retta Esplicita

Il significato di \( q\): L'intercetta

Se poniamo \( x = 0\), cioè assegnamo alla variabile indipendente il valore nullo, otteniamo l'equazione banale \( y = q\). Di conseguenza il punto \( (0, q) \) è un punto della retta. Vediamo dove si trova questo punto. Osservate nella figura centrale che il punto si trova sull'asse delle ordinate. Questo punto ha il seguente significato geometrico: è l'ordinata all'origine (intercetta) e corrisponde al valore della funzione lineare "retta" in corrispondenza di \( x=0\).


Il significato di \( m\): Il coefficiente angolare

Il siginificato geometrico di \( m\) è molto importante rispetto a \( q\). Se avete studiato un po di Analisi UNO sicuramente sapete cos'è una derivata, avrete sentito parlare sicuramente del coefficiente angolare, retta tangente ecc. Se non sapete nulla di questo non fa niente, non sono argomenti da conoscere per capire quello che sto per dirvi, ma se li sapete il tutto sarà banale.

Detto in due parole \( m\) è la pendenza della retta. Infatti se consideriamo \( 2\) punti della retta \( (x_1, y_1)\) ed \( (x_2, y_2)\), la geometria analitica di Cartesio ci insegna che l'equazione della retta per due punti è data dalla seguente espressione

$$ {y-y_1 \over y_2-y_1} = {x-x_1 \over x_2 - x_1} $$ se ora proviamo a ricavare \( y\) abbiamo che: $$ y-y_1 = {x-x_1 \over x_2 - x_1} y_2-y_1 \rightarrow y = {x \over x_2 - x_1} y_2-y_1 - {x_1 \over x_2 - x_1} y_2-y_1 + y_1 $$ riscrivendo il tutto nella forma \( y = mx + q\) abbiamo che: $$ y = x\overset{m}{\overbrace{y_2-y_1 \over x_2 - x_1}} - \overset{q}{\overbrace{{x_1(y_2-y_1) \over x_2 - x_1} + y_1 }} $$ Osservate nell'espressione le corrispondenze con \( q\) ed \( m\) che è dato dall'espressione: $$ \large m = {y_2-y_1 \over x_2 - x_1} $$ Nella figura di seguito osservate il singificato di \( m\) ossia il rapporto tra il cateto \( \overline{PH}\) ed il cateto \( \overline{OH}\)
Coefficiente angolare

Si tratta come vedete del rapporto dei due cateti \( m = {\overline{PH} \over \overline{OH}} \), il che corrisponde in una interpretazione trigonometrica alla tangente dell'angolo \( \alpha \). $$ m = tan(\alpha) $$

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