Retta in forma implicita

La forma implicita della retta si ottiene banalmente portando tutti i termini a sinistra dell' uguale e lasciando uno \( 0\) a destra. Essa si presenta quindi nella forma di una funzione di due variabili \( f(x, y) = 0\) data dall'espressione tipica: $$ \large ax + by + c = 0 $$

Il significato dei coefficienti

Nell'equazione in forma implicita assumono un ruolo importante i coefficienti \(a\), \( b\) e \( c\). Osservate che i primi due sono a prodotto con \( x\) ed \( y\), mentre il terzo "sta da solo", non per questo \( c\) è il termine noto.

Per capire il significato geometrico della forma implicita, supponiamo di avere \( c = 0\); questo corrisponde ad avere una retta per l'origine, infatti la versione esplicita dell'equazione \( ax + by = 0 \) sarebbe: $$ ax + by = 0 \longrightarrow y = -{a \over b}x $$ Osservate attentamente adesso l'espresione implicita della retta per l'origine, somiglia, anzi è un combinazione lineare nulla. Nel linguaggio degli spazi vettoriali, l'espressione \( ax + by = 0 \) è un prodotto scalare; in particolare è il prodotto scalare tra i vettori \( (a, b) \) ed \( (x, y)\), il primo noto, il secondo incognito.

$$ \large \langle \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rangle = ax + by = 0 \rangle $$ Osservate che il prodotto scalare è nullo. Cosa significa quando il prodotto scalare tra due vettori è zero? Vuol dire che (supponendo che entrambi i vettori siano non nulli) essi sono ortogonali (\( \perp \)).

Abbiamo trovato una interpretazione geometrica della retta implicita. Tutti i punti (vettori) \( (x, y)\) appartengono alla retta se e solo se sono perpendicolari al vettore \( (a, b)\). Questo vuol dire che il vettore \( (a, b)\) è un vettore perpendicolare alla retta.

Retta implicita

Per quanto riguarda il coefficiente \( c\), si tratta del valore (di offset) quando \( (x, y) = (0, 0) \).

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