Retta in forma Parametrica

La retta in forma parametrica è la più flessibile di tutte. L'espressione descrive il percorso "immaginario" rispetto al tempo \( t \) sulla retta stessa. In effetti si parla di parametrizzazione e di supporto o sostegno. La parametrizzazione è il modo di descrivere in diversi modi come percorrere la retta ossia il sostegno.

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Dati due vettori \( v\) e \(w\) La retta in forma parametrica (vettoriale) si scrive nel modo seguente: $$ \large v + tw $$ Se le coordinate dei due vettori sono \( v \equiv (v_1, v_2) \) e \( w \equiv (w_1, w_2) \) allora l'equazione assume la forma $$ (v_1, v_2) + t(w_1, w_2) \hspace{4cm} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} $$ Oppure ancora si può scrivere nei modi alternativi ed equivalenti: $$ (v_1 + tw_1, v_2 + tw_2) \hspace{4cm} \begin{cases} x = v_1 + tw_1 \\ y = v_2 + tw_2 \end{cases} $$

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Il significato della forma parametrica

I due vettori che compaiono nella formula della espressione parametrica hanno un significato ben preciso: il primo vettore \( v\) è il vettore di partenza al tempo \( t = 0 \) (infatti se il tempo è zero \( (x, y) = (v_1, v_2)\) ). Ora guardate la formula parametrica. Essa è somma del primo vettore e del secondo moltiplicato per \( t\). Di conseguenza per ogni valore di \( t\) si ottiene un punto della retta dato dalla somma, ad esempio: $$ (v_1, v_2) + \underset{t=1}{}(w_1, w_2) \hspace{1cm} (v_1, v_2) + \underset{t=2}{2}(w_1, w_2) \hspace{1cm} (v_1, v_2) + \underset{t=3}{3}(w_1, w_2) \hspace{1cm} (v_1, v_2) + \underset{t=4}{4}(w_1, w_2) $$

Avrete quindi capito qual è il significato del vettore \( w\). Si tratta del vettore direzione di percorrenza della retta. Dalla figura si osserva infatti che il significato dell'espressinoe \( v + tw\) è la retta passante per \( v\) e parallela alla direzione individuata da \( w\)

Retta parametrica

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