Additività

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^m a_{ji} & \sum_{i=1}^m a_{ji} & \ldots & \sum_{i=1}^m a_{ji} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

Consideriamo una matrice quadrata \( \mathrm A \). L'additività esprime il fatto per cui, se riusciamo ad esprimere tutti i termini di una riga o tutti i termini di una colonna come somma di più termini allora il determinante, si può ottenere anch'esso come somma di determinanti.

Consideriamo una matrice quadrata \( \mathrm A \):

$$ \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$

Supponiamo ora, che tutti gli elementi dell'ultima riga, siano la somma di altrettanti elementi in modo che: \( a_{ni} = b_{ni}+c_{ni} \). La matrice \( \mathrm A\) allora diventa:

$$ \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}+c_{n1} & b_{n2}+c_{n2} & \ldots & b_{nn}+c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ $$ \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}+c_{n1} & b_{n2}+c_{n2} & \ldots & b_{nn}+c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ $$ \small \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}+c_{n1} & b_{n2}+c_{n2} & \ldots & b_{nn}+c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$
Per l'additività delle matrici possiamo esprimere \( \mathrm A = \mathrm A' + \mathrm A'' \), dove le matrici \( \mathrm A' \) e \( \mathrm A'' \), sono due matrici quadrate delle stesse dimensioni di \( \mathrm A \):
$$ \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}+c_{n1} & b_{n2}+c_{n2} & \ldots & b_{nn}+c_{nn} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2}& \ldots & b_{nn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ $$ \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}+c_{n1} & b_{n2}+c_{n2} & \ldots & b_{nn}+c_{nn} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2}& \ldots & b_{nn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ $$ \small \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}+c_{n1} & b_{n2}+c_{n2} & \ldots & b_{nn}+c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \small \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2}& \ldots & b_{nn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \\ \end{pmatrix} $$

Insieme alla proprietà di omogeneità vista precedentemente, l'additività fa del determinante un operatore lineare.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

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