Aggiunti e complementi algebrici

Prima di iniziare a calcolare i nostri determinanti, che saranno parecchi, specie in geometria, bisogna definire un concetto essenziale, importantissimo che bisogna assolutamente capire e saper usare ai fini di una corretta acquisizione delle tecniche di risoluizione che vedremo (incluso il metodo di Laplace). Questo oggetto, anzi questi due oggetti di cui parleremo sono: l'aggiunto ed il complemento algebrico.

Partiamo con il definire l'aggiunto. Consideriamo una matrice quadrata \( \mathrm A \) ed un suo elemento che indicheremo come \( a_{ij} \).

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \hspace{2cm} {\LARGE a_{ij}} $$

Come ben sappiamo la scrittura \( a_{ij} \), rappresenta un qualunque elemento della matrice che si trova all'incrocio della riga \(i\) e della colonna \( j\) (infatti è questo il significato degli indici). Ebbene, ad ogni elemento \( a_{ij} \) è associato un numerino chiamato "aggiunto", che altro non è che un determinante particolare:

Aggiunto

L'aggiunto di un elemento \( a_{ij} \) è il determinante della sottomatrice di dimensioni \( (n-1)\cdot (n-1) \), che si ottiene dalla matrice di partenza, eliminando la riga \(i\) e la colonna \( j\).

Per calcolare, ad esempio, (in una matrice \( 4\cdot4 \)) l'aggiunto dell'elemento \( a_{22} \), devo, anzitutto estrarre dalla matrice di partenza, la sottomatrice eliminando da essa la seconda riga e la seconda colonna e poi ne devo calcolare il determinante.

$$A_{gg}(a_{22}) = \require{cancel} \begin{vmatrix} a_{11} & \color{#990000}{\xcancel{a_{12}}} & a_{13} & a_{14} \\ \color{#990000}{\xcancel{a_{21}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{22}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{23}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{24}}} \\ a_{31} & \color{#990000}{\xcancel{a_{32}}} & a_{33} & \ a_{34} \\ a_{41} & \color{#990000}{\xcancel{a_{42}}} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \hspace{2mm} \longrightarrow \hspace{2mm} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $$ $$A_{gg}(a_{22}) = \require{cancel} \begin{vmatrix} a_{11} & \color{#990000}{\xcancel{a_{12}}} & a_{13} & a_{14} \\ \color{#990000}{\xcancel{a_{21}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{22}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{23}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{24}}} \\ a_{31} & \color{#990000}{\xcancel{a_{32}}} & a_{33} & \ a_{34} \\ a_{41} & \color{#990000}{\xcancel{a_{42}}} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \hspace{2mm} \longrightarrow \hspace{2mm} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $$ $$A_{gg}(a_{22}) = \require{cancel} \begin{vmatrix} a_{11} & \color{#990000}{\xcancel{a_{12}}} & a_{13} & a_{14} \\ \color{#990000}{\xcancel{a_{21}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{22}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{23}}} & \color{#990000}{\xcancel{a_{24}}} \\ a_{31} & \color{#990000}{\xcancel{a_{32}}} & a_{33} & \ a_{34} \\ a_{41} & \color{#990000}{\xcancel{a_{42}}} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $$

Resta così definità in maniera del tutto costruttiva, una corrispondenza, tra ogni elemento della matrice ed il suo aggiunto.

Consideriamo adesso la nozione di complemento algebrico. L'appellativo "algebrico", sta ad indicare la presenza di un segno associato all'aggiunto. In effetti la definzione di complemento algebrico è semplicemente quella di aggiunto con segno. In particolare per ottenere il segno bisogna moltiplicare l'aggiunto \( C(a_{ij}) \) per il fattore indicatrice di segno \( (-1)^{(i+j)} \)

$${\large (-1)^{(i+j)}C(a_{ij}) } $$

L'indicatore di segno è un \( -1\) elevato alla somma degli indici di riga e di colonna \( i+j \). Questo significa che se la somma degli indici è un numero pari, il \( -1\) diventa un \( +1\) (segno +), mentre se la somma degli indici è dispari, allora si avra (segno -).

L'insieme di tutti i complementi algebrici è ottenuto quindi, a partire da tutti gli aggiunti, con il segno.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

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