$$ \begin{vmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} =
0
$$
$$ \begin{vmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} =
0
$$
$$ \small \begin{vmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} =
0
$$
$$ \diamond $$
Il determinante di una matrice che ha una riga o una colonna nulla è zero. Vi faccio osservare come questa proprietà e una diretta conseguenza della proprietà di riscalamento per (\(k=0\)).
$$ \diamond\diamond\diamond $$