La matrice nulla è la matrice che ha tutti \( 0 \) come componenti (scalari). Sembrerà banale definirla, ma come vedremo ci servirà per caratterizzare tantissime proprietà delle matrici. Vedremo che si comporta, sostanzialmente come lo zero della somma elementare.

$$ N = \vec{\vec{0}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{Vmatrix} \large{\mathbb 0} \end{Vmatrix} $$

Tutti gli elementi di questa matrice \( n_{ij} = 0 \) (sono nulli per definizione). Un modo di indicare questa matrice è \( \vec{\vec{0}}\) (mettendo due simboli di freccia), ma capite che si tratta di una notazione alquanto scomoda, indicheremo quindi semplicemente con \( 0\) la matrice nulla e sarà il contesto a discriminare che si tratta di una matrice e non del numero 0

ESEMPIO

Esempi di matrici nulle

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

La regola fondamentale della matrice nulla è che la matrice nulla sommata a qualsiasi altra matrice dello stesso tipo non aggiunge nulla in formule se \( A \) è una matrice: $$ \begin{Vmatrix} \large{\mathbb 0} \end{Vmatrix} + A = A + \begin{Vmatrix} \large{\mathbb 0} \end{Vmatrix} = A $$