Facciamo un punto della situazione. Abbiamo visto che un sistema lineare in generale si può esprimere in una forma matriciale compatta. Le due versioni, sistema lineare non omogeneo (s.l.n.o.) e sistema lineare omogeneo (s.l.o.) ammettono le seguenti scritture:

$$ \large \mathrm{AX=B} \hspace{2cm} \mathrm{AX=0} $$

Che relazione susiste tra le due scritture, o meglio avendo informazioni sul sistema omogeneo, cosa possiamo dire sul sistema non omogeneo? La risposta a questa domanda ci permette di trovare un metodo per risolvere in linea generale un sistema lineare. l'idea è quella di ricondurci ai soli sistemi omogenei, perchè sono piu facili da risolvere ed attraverso essi, risalire alle soluzioni dei sistemi non omogenei. Vediamo come:

$$ \diamond $$

Supponiamo che qualcuno (magari nostro zio...) ci ha dato una soluzione particolare del sistema non omogeneo, questa soluzione la chiamiamo \( \mathrm X^* \), allora sicuramente soddisfa all'equazione \( \mathrm{AX^* = B} \). D'altra parte noi, ci siamo procurati una soluzione del sistema omogeneo ad esempio, chiamiamola \( \mathrm Y \), allora ovviamente vale \( \mathrm{AY = 0} \)

Se proviamo a sommare le due soluzioni \( X^* + Y \) cosa otteniamo? Per capirlo prociamo ad inserire la somma nell'equazione generale \(\mathrm{AX=B} \) e vedere cosa accade: $$ \mathrm{A(X^*+Y) = B} $$ $$\mathrm{AX^*} + \mathrm{AY} = \mathrm B $$

Abbiamo dimostrato con due passaggi che sommando ad una soluzinoe particolare \( \mathrm{X^*}\) del sistema lineare non omogeneo (s.l.n.o.) una soluzione \( \mathrm Y\) del sistema lineare omogeneo (s.l.o.) otteniamo le soluzioni del sistema lineare non omogeneo.