Alla base del metodo di gauss ci sono \( 2\) regole di base (i cosiddetti passi) o le "mosse di Gauss" che servono a trasformare la matrice di partenza in una matrice a rango equivalente ma più semplice. Presentiamo le mosse e successivamente con alcuni esempi vedremo come utilizzarle.

$$ \diamond $$

\( \langle \) Mosse di Gauss \( \rangle \)

Mossa di scambio $$ \mathrm R_1 \leftrightarrow \mathrm R_2 $$

E' possibile scambiare una riga (colonna) con un'altra riga (colonna) senza alterare il rango.

Partendo da una matrice ed operando uno scambio di due righe o di due colonne si giunge ad una nuova matrice con lo stesso rango (\( \rho\)-equivalente). Indicheremo questa mossa in questo modo \(\mathrm R_1 \leftrightarrow \mathrm R_2 \) quando si tratta di scambio di righe, mentre \(\mathrm C_1 \leftrightarrow \mathrm C_2 \) quando si tratta di scambio di colonne.

Scambio righe
Scambio colonne

Mossa di Combinazione lineare $$ \mathrm{R_k} \leftarrow \lambda \mathrm{R_k} + \eta \mathrm{R_h} $$

E' possibile scambiare una riga (colonna) (nell'esempio la prima), con una combinazione lineare delle altre righe (colonne) senza alterare il rango della matrice di partenza.

Questà è la mossa più complessa, ma allo stesso tempo è la più potente. Partendo da una matrice e sostituendo al posto di una riga o di una colonna una combinazione lineare di altre righe (colonne), otteniamo un'altra matrice \( \rho\)-equivalente, ciòe con lo stesso rango ma più semplice.

Mossa di Combinazione lineare righe
Mossa di Combinazione lineare colonne

Vi anticipo che nel prosieguo, e di solito in generale, si lavora per righe, ma nulla vieta di operare per colonne.