Per definire il concetto di determinante, nel modo più naturale possibile, bisogna ricorrere al concetto elementare di permutazione. Si sa, dall'algebra elementare, che una permutazione, è in parole semplici, una funzione biiettiva, da un insieme \( X\) in se stesso, ossia una funzinoe che associa ad ogni elemento dell'insieme, un altro elemento dello stesso insieme, operando quindi un "mescolamento", o meglio, in gergo: una permutazione degli elementi.

Potete visualizzare la parmutazione, come, ad esempio una persona che mischia un mazzo di carte. Il mazzo di carte è l'insieme \( X\), le carte sono gli elementi, il tizio che mescola la carte è la funzione. Le permutazioni sono sostanzialmente tutti i modi in cui le carte si si possono mescolare... si tratta di un'idea assai intuitiva e semplice da comrendere, tuttavia, conviene procedere ora, ad una definizione formale per non incorrere in ambiguità.

Consideriamo per semplicità l'insieme \( \mathbb N_n\) dei primi \( n\) numeri naturali. $$ \mathbb N = \left\{ 1, 2, 3, \ldots, n \right\} $$ Una permutazione su \( \mathbb N\) è l'immagine di una funzione \( \gamma(\mathbb N) \), che opera sull'insieme \( \mathbb N \) stesso: $$ \gamma(\mathbb N) = \left\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\right\} $$ L'insieme di tutte le permutazioni, che indicheremo con \( \mathbb P_n(\mathbb N) \) avrà \( n!\) elementi. Vi ricordo, per chi non sapesse che cos'è \( n!\), si tratta del fattoriale di un numero, ovvero, il prodotto di tutti i valori da \( n\) fino ad \( 1\). $$ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots 2\cdot 1 = \prod_{i=0}^{n-1}(n-i) $$ $$ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots 2\cdot 1 = \prod_{i=0}^{n-1}(n-i) $$ $$ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots 2\cdot 1 $$ $$ \downarrow $$ $$ \large \prod_{i=0}^{n-1}(n-i) $$

Ebbene, ad esempio: l'insieme delle permutazioni dell'insieme \(N_3 = \left\{1, 2, 3\right\}\), avra \(3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6\) elementi, che riporto di seguito: $$ \mathbb P_3(\mathbb N) = \left\{ \left\{ 1, 2, 3\right\}, \left\{ 1, 3, 2\right\}, \left\{ 2, 1, 3\right\}, \left\{ 2, 3, 1\right\}, \left\{ 3, 1, 2\right\}, \left\{ 3, 2, 1\right\} \right\} $$

$$ \mathbb P_3(\mathbb N) = \left\{ \left\{ 1, 2, 3\right\}, \left\{ 1, 3, 2\right\}, \left\{ 2, 1, 3\right\}, \left\{ 2, 3, 1\right\}, \left\{ 3, 1, 2\right\}, \left\{ 3, 2, 1\right\} \right\} $$

$$ \mathbb P_3(\mathbb N) = \left\{ \left\{ 1, 2, 3\right\}, \left\{ 1, 3, 2\right\}, \left\{ 2, 1, 3\right\}, \\ \left\{ 2, 3, 1\right\}, \left\{ 3, 1, 2\right\}, \left\{ 3, 2, 1\right\} \right\} $$

Osservate che, negli elementi non ci sono ripetizioni di un valore (il numero \( 2\), ad esempio in un elemento compare una sola volta), inoltre l'ordine degli elemento ha valore, nel senso che gli elementi \( \left\{ 1, 2, 3\right\} \) e \( \left\{ 3, 2, 1\right\}\) sono diversi.

Operazioni sulle permutazioni

Sulle permutazioni, possiamo definire alcune operazioni elementari, come ad esempio il prodotto naturale.

Consideriamo due permutazioni di elementi: \( (1, 2, 3) \) e \( (2, 3, 1) \). Il prodotto delle due permutazioni si ottiene con la semplice regola:

  • L'elemento generico si ottiene indicando la posizione sulla prima permutazione relativamente alla seconda

$$ (1, 2, 3) \cdot (2, 3, 1) = (3,1,2) $$ Questo significa che:
  • l'\( 1\) si trova in posizione \( 2\)
  • Il \( 2\) si trova in posizione \( 3\)
  • Il \( 3\) si trova in posizione \( 1\)

Un'altra operazione estremamente importante che si definisce, nell'ambito delle permutazioni è la parità e la disparità di una permutazione: Una permutazione può essere:

  • PARI: Quando il numero delle sotto-coppie \( (x, y)\) dove \( x\) precede \( y\), con \( x < y \) è pari
  • DISPARI: Quando il numero delle sotto-coppie \( (x, y)\), dove \( x\) precede \( y\), con \( x < y \) è dispari


Definizione permutazionale di determinante

La definizione naturale di determinante, è quella che ricorre al concetto di permutazione, che abbiamo testè definito.


Data una matrice quadrata \( \mathrm A\), il suo determinante si ottiene attraverso la seguente formula: $$ det(\mathrm A) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \gamma_i(\mathbb P_n) $$ La somma di tutte le permutazioni con segno.
$$ \diamond $$