Per le matrici quadrate il prodotto trova l'ambiente ideale per essere ben definito. Nel senso che accadono fatti che ci fanno pensare che le matrici quadrate siano le più vicine alle proprietà del prodotto tradizionale tra numeri. In particolare (rispetto al caso più generale di matrici compatibili) quando moltiplichiamo due matrici quadrate di ordine \( n \) otteniamo ancora una matrice di ordine \( n\). Attenzione, però, che il prodotto rimane ancora anticommutativo.

Vediamo con qualche esempio come si svolge il prodotto di matrici quadrate

Prodotto di matrici quadrate

osservate come il prodotto di queste due matrici non è commutativo

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
$$ \diamond $$