Prima di iniziare a risolvere i sistemi lineari, abbiamo bisogno di un risultato che ci fornisca in maniera teorica l'esistenza o no della o delle soluzioni. Questo risultato va sotto il nome di Teorema di Rouché-Capelli ed è un teorema abbastanza noto in algebra lineare, uno di quei risultati che di solito vengono chiesti agli esami...

Consideriamo un sistema lineare espresso in forma matriciale $$ \large \mathrm{AX = B} $$ Il teorema è una condizione necessaria e sufficiente \( \iff \) alla risoluzione di un sistema lineare:

Teorema di Rouchè-capelli

Un sistema lineare \( \mathrm{AX=B} \) ammette soluzioni se e soltanto se : $$ \rho(\mathrm A) = \rho(\mathrm{A|B}) $$

Dove \( \mathrm A \) è la matrice dei coefficienti del sistema, mentre \( \mathrm{A|B} \) è la cosiddetta matrice completa che si ottiene "giustapponendo" alla matrice \( \mathrm A \) la colonna \( \mathrm B \) (alla sua destra) e \( \rho() \) indica il rango della matrice (il numero di colonne linearmente indipendenti) la figura spiega tutto in dettaglio:

Teorema di Rouchè-Capelli: matrice dei coefficienti e matrice completa
$$ \diamond $$

Interpretazione intuitiva

Per capire intuitivamente questo risultato facciamo la seguente osservazione. Quello che sappiamo a priori è la seguente cosa: La matrice \( \mathrm A\) del sistema corrisponde ad una applicazione lineare. Le colonne sono un sistema di generatori dell'immagine di questa applicazione lineare. Ora se il sistema ammette soluzioni vuol dire che \( \mathrm B \) si trova nell'immagine di \( f\), ossia si può esprimere come combinazione lineare delle colonne di \( \mathrm A\). E questo si traduce nella condizione del teorema; ossia siccome il rango della matrice dei coefficienti deve essere uguale al rango della matrice completa, ciò significa che aggiungendo \( \mathrm B\) non aggiungo nulla di nuovo (essendo \( \mathrm B\) linearmente dipendente dalle colonne di \( \mathrm A \)).

$$ \diamond $$
Insieme delle soluzioni

Supponiamo di aver calcolato in qualche modo il rango di \( \mathrm A = r \) - (nella sezione dedicata alle matrici ci sono delle pagine dedicate a questo tipo di procedura). Calcoliamo ora il rango di \( \mathrm{A|B}\): \( \rho(A|B) \) Possono presentarsi \( 2\) casi:

  • \( \rho(\mathrm{A|B}) = r + 1\): in questo caso la colonna \( \mathrm B\) aggiunge nuove informazioni alle colonne di \( \mathrm A \) \( \mathrm B \) è l.i.)
  • \( \rho(\mathrm{A|B}) = r \): in questo caso non aggiungo nulla di nuovo alle colonne di \( \mathrm A \): la colonna \( \mathrm B\) si ottiene evidentemente come combinazione lineare delle colonne di \(\mathrm A\) ( ma questa è proprio la condizione del teorema di RC )

Rimangono \( n-r\) parametri liberi (incognite) che corrispondono alla dimensione dello spazio delle soluzioni: Se \( n=r\) avremo una soluzione unica altrimenti ne avremo infinite. più in particolare il numero delle soluzioni è dato dalla seguente formula: $$ \LARGE \infty^{n-r} $$