Questa regola vale solo per i determinanti di ordine \(3 \). Si tratta di un metodo grafico molto pratico ed impiegato, per via della sua semplicità. In questa pagina descriveremo il metodo sia da un punto di vista teorico, che da un punto di vista operativo (vedremo degli esempi numerici)

Consideriamo la solita matrce quadrata \(\mathrm A\) di dimensioni \( 3 \cdot 3\). $$ \begin{Vmatrix}a &b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{Vmatrix} $$. Per sviluppare il determinante secondo il metodo di Sarrus, bisogna effettaure le seguenti operazioni:

  • Considerare le prime due colonne e giustapporle affianco alla terza.
  • Considerare le diagonali primarie (che sono in numero di \( 3\)) e moltiplicare gli elementi di ogni diagonale e sommarli.
  • Considerare le diagonali secondarie (che sono in numero di \( 3\)) e moltiplicare gli elementi di ogni diagonale e sommarli.
  • Sottrarre dalla prima somma ottenuta nella fase 2 la somma ottenuta nella fase 3.

Vediamo come procedere sistematicamente:

  • Fase 1: Giustapporre le prime due colonne a destra della terza
  • $$ \begin{vmatrix}a &b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix}a &b\\d&e\\g&h \end{vmatrix} $$

  • Fase 2: Considerare le \( 3\) diagonali primarie e moltiplicare gli elementi. Sommare i prodotti parziali.: $$ \begin{vmatrix}\color{#008080}{a} &\color{#990000}{b}& \color{#009900}{c}\\ d&\color{#008080}{e}&\color{#990000}{f}\\ g&h&\color{#008080}{i} \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{2mm}a &b\\ \hspace{2mm} \color{#009900}{d}&e\\ \hspace{2mm}\color{#990000}{g}& \color{#009900}{h} \end{vmatrix} \hspace{3cm} \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} $$ $$ \begin{vmatrix}\color{#008080}{a} &\color{#990000}{b}& \color{#009900}{c}\\ d&\color{#008080}{e}&\color{#990000}{f}\\ g&h&\color{#008080}{i} \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{2mm}a &b\\ \hspace{2mm} \color{#009900}{d}&e\\ \hspace{2mm}\color{#990000}{g}& \color{#009900}{h} \end{vmatrix} \hspace{3cm} \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} $$ $$ \begin{vmatrix}\color{#008080}{a} &\color{#990000}{b}& \color{#009900}{c}\\ d&\color{#008080}{e}&\color{#990000}{f}\\ g&h&\color{#008080}{i} \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{2mm}a &b\\ \hspace{2mm} \color{#009900}{d}&e\\ \hspace{2mm}\color{#990000}{g}& \color{#009900}{h} \end{vmatrix} $$ $$\downarrow $$ $$ \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} $$
  • Fase 3: Considerare le \( 3\) diagonali secondarie e moltiplicare gli elementi. Sommare i prodotti parziali.: $$ \begin{vmatrix}a &b& \color{#008080}{c}\\ d&\color{#008080}{e}&\color{#990000}{f}\\ \color{#008080}{g}&\color{#990000}{h}&\color{#009900}{i} \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{2mm}\color{#990000}{a} &\color{#009900}{b}\\ \hspace{2mm} \color{#009900}{d}&e\\ \hspace{2mm}g& h \end{vmatrix} \hspace{3cm} \color{#008080}{gec} + \color{#990000}{hfa} + \color{#009900}{idb} $$ $$ \begin{vmatrix}a &b& \color{#008080}{c}\\ d&\color{#008080}{e}&\color{#990000}{f}\\ \color{#008080}{g}&\color{#990000}{h}&\color{#009900}{i} \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{2mm}\color{#990000}{a} &\color{#009900}{b}\\ \hspace{2mm} \color{#009900}{d}&e\\ \hspace{2mm}g& h \end{vmatrix} \hspace{3cm} \color{#008080}{gec} + \color{#990000}{hfa} + \color{#009900}{idb} $$ $$ \begin{vmatrix}a &b& \color{#008080}{c}\\ d&\color{#008080}{e}&\color{#990000}{f}\\ \color{#008080}{g}&\color{#990000}{h}&\color{#009900}{i} \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{2mm}\color{#990000}{a} &\color{#009900}{b}\\ \hspace{2mm} \color{#009900}{d}&e\\ \hspace{2mm}g& h \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \color{#008080}{gec} + \color{#990000}{hfa} + \color{#009900}{idb} $$
  • Sottrarre le due somme ottenute. $$ \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} - (\color{#008080}{gec} + \color{#990000}{hfa} + \color{#009900}{idb} ) = \\ = \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} - \color{#008080}{gec} - \color{#990000}{hfa} - \color{#009900}{idb} $$ $$ \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} - (\color{#008080}{gec} + \color{#990000}{hfa} + \color{#009900}{idb} ) = \\ = \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} - \color{#008080}{gec} - \color{#990000}{hfa} - \color{#009900}{idb} $$ $$ \small \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} - (\color{#008080}{gec} + \color{#990000}{hfa} + \color{#009900}{idb} ) = \\ \small = \color{#008080}{aei} + \color{#990000}{bfg} + \color{#009900}{cdh} - \color{#008080}{gec} - \color{#990000}{hfa} - \color{#009900}{idb} $$
Confrontando i termini ottenuti, con quanto visto in riferimento agli altri metodi, possiamo confermare la validità del metodo di Sarrus.

Vediamo ora qualche esempio numerico:

Consideriamo la seguente matrice quadrata $$ \begin{Vmatrix}1 &2&4\\3&-1&0\\1&2&-2 \end{Vmatrix} $$ Operiamo il metodo di Sarrus: $$ \begin{vmatrix}1 &2&4\\3&-1&0\\1&2&-2 \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{1mm}1 &2\\ \hspace{1mm}3&-1\\ \hspace{1mm}1&2 \end{vmatrix} = \Bigl(1\cdot(-1)\cdot (-2)\Bigr) + \Bigl(2\cdot 0\cdot 1\Bigr) + \Bigl(4\cdot 3\cdot 2\Bigr) - \Biggl(\Bigl(1\cdot(-1)\cdot 4\Bigr) + \Bigl(2\cdot 0\cdot 1\Bigr) + \Bigl((-2)\cdot 3\cdot 2\Bigr)\Biggr) = $$ $$ = 2 + 0 + 24 - (-4 + 0 -12) = 26 + 26 = 52 $$ $$ \begin{vmatrix}1 &2&4\\3&-1&0\\1&2&-2 \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{1mm}1 &2\\ \hspace{1mm}3&-1\\ \hspace{1mm}1&2 \end{vmatrix} = \Bigl(1\cdot(-1)\cdot (-2)\Bigr) + \Bigl(2\cdot 0\cdot 1\Bigr) + \Bigl(4\cdot 3\cdot 2\Bigr) - \Biggl(\Bigl(1\cdot(-1)\cdot 4\Bigr) + \Bigl(2\cdot 0\cdot 1\Bigr) + \Bigl((-2)\cdot 3\cdot 2\Bigr)\Biggr) = $$ $$ = 2 + 0 + 24 - (-4 + 0 -12) = 26 + 26 = 52 $$ $$ \begin{vmatrix}1 &2&4\\3&-1&0\\1&2&-2 \end{vmatrix} \hspace{-2mm} \begin{vmatrix} \hspace{1mm}1 &2\\ \hspace{1mm}3&-1\\ \hspace{1mm}1&2 \end{vmatrix} $$ $$\downarrow $$ $$\small \Bigl(1\cdot(-1)\cdot (-2)\Bigr) + \Bigl(2\cdot 0\cdot 1\Bigr) + \Bigl(4\cdot 3\cdot 2\Bigr) + $$ $$ \small - \Biggl(\Bigl(1\cdot(-1)\cdot 4\Bigr) + \Bigl(2\cdot 0\cdot 1\Bigr) + \Bigl((-2)\cdot 3\cdot 2\Bigr)\Biggr) = $$ $$ = 2 + 0 + 24 - (-4 + 0 -12) = $$ $$ = 26 + 26 = 52 $$