Decomposizione in righe e colonne

Consideriamo una matrice generica \( A \in {\mathbb M^{mn}} \), ad \( m\) righe ed \( n \) colonne. Come detto ogni matrice è formata da righe e colonne. Possiamo estrarre le singole righe di una matrice o le cingole colonne semplicemente indicandole con una notazione ad indici:

Ad esempio se vogliamo indicare la terza colonna della matrice \(A\) come \(A^{(3)} \). In questo modo avremo che: $$ A_{(3)} = \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ \vdots \\ a_{m3} \end{pmatrix} $$

Per indicare invece una riga si usano gli indici alti ad esempio la riga 2 si indica: $$ A^{(2)} = (a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2n}) $$
Possiamo riassumere quanto detto, mettendo in evidenza le righe e le colonne di una matrice secondo una decomposizione per righe e colonne. Tutte le matrici si possono decomporre secondo righe e/o colonne come in basso. Come vedremo in seguito l'insieme delle colonne costituisce uno spazio chiamato spazio delle colonne e lo stesso per le righe che costituiscono uno spazio delle righe. Ma di questo ne parleremo in seguito.

$$ \underset { {\LARGE A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} } \begin{align} \leftarrow {\large (a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1n} )}\\ \\ \leftarrow{\large (a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2n} )}\\ \\ {\large\vdots }\\ \\ {\large\leftarrow (a_{m1}, a_{m2}, \ldots, a_{mn} }) \end{align} } {\hspace{-27mm} \underset{\downarrow}{\small \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} } \hspace{0mm} \underset{\downarrow}{\small \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}} \hspace{2mm} \ldots \hspace{1mm} \underset{\downarrow}{\small \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}} } $$

Per quanto riguarda invece gli elementi della matrice essi si indicano con due "indici a pedice" \( i\) e \(j\); \(i\) è detto indice di riga e può variare da \(1 \) ad \(m\), \(j\) è detto indice di colonna e può variare da \(1\) ad \(n\).

l'elemento della matrice in posizione \( (i, j) \) (cioè che si trova all'incrocio della riga \(i\) e della colonna \(j\) si indica: \( {\large a_{ij}} \) dove: $$ {\huge \overbrace{a_{\underset{row}{\underset{\uparrow}{i}}\underset{col}{\underset{\uparrow}{j}}}}}$$


Vediamo ora un paio di esempi per chiarire i concetti esposti:

ESEMPIO 1
$$ \color{#0d659c}{ A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & \sqrt{2} & 38 \\ \pi & 3 & -56 & 0 \\ 8 & \pi\sqrt{5} & 2 & -7 \end{pmatrix}} $$

l'elemento \( a_{23} = -56 \)
l'elemento \( a_{21} = \pi \)
l'elemento \( a_{34} = -7 \)

\( A_{(2)} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ \pi\sqrt{5} \end{pmatrix}\) \( \hspace{7mm} \) \( A_{(4)} = \begin{pmatrix} 38 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}\)

\( A^{(1)} = (1, -5, \sqrt{2}, 38) \) \( \hspace{7mm} \) \( A^{(3)} = ( 8, \pi\sqrt{5}, 2, -7 ) \)

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