Determinante diagonale

Più che una regola, qui si tratta di una semplificazione del procedimento di calcolo su alcuni tipi di matrici notevoli


Determinante di una matrice triangolare

Il determinante di una matrice triangolare superiore o inferiore, cioè una matrice con tutti \( 0\) al di sopra o al di sotto della diagonale principale, si ottiene semplicemente come prodotto degli elementi della diagonale principale. In formule:

$$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & * & \ldots & * \\ 0& a_{22} & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$ $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & * & \ldots & * \\ 0& a_{22} & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$ $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & * & \ldots & * \\ 0& a_{22} & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \\ = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$
$$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ * & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$ $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ * & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$ $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ * & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \\ = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$

Dove è da intendersi, nelle matrici, che con il simbolo di asterisco (*), mi riferisco ad un elemento generico che può essere o non essere nullo.


Determinante di una matrice diagonale

Come per le matrici triangolari, lo stesso vale per le matrici diagonali, caso particolare di matrice triangolare superiore e contemporaneamente inferiore (elementi nulli sopra e sotto la diagonale principale). $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & * & \ldots & * \\ * & a_{22} & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$ $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & * & \ldots & * \\ * & a_{22} & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$ $$ \mathrm A = \begin{vmatrix} a_{11} & * & \ldots & * \\ * & a_{22} & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \\ = a_{11}a_{22}\ldots a_{nn} = {\large \prod_{i=1}^n a_{ii}} $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

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