Matrici Equivalenti

Il concetto di equivalenza tra matrici, ci introduce a tutta una parte del calcolo matriciale impiegato nell'ambito della risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Vedremo che l'equivalenza tra matrici giocherà un ruolo importante quando introdurremo l'algoritmo di elimnazione di Gauss, che ci terrà impegnati nelle prossime lezioni, e vedremo inoltre, come il discorso è connesso alla teoria dei determinanti, diamo brevemente la definizione di equivalenza tra matrici.

Consideriamo due matrici \( \mathrm A\) e \( \mathrm B\) di dimensioni uguali. Si dice che \( \mathrm B\) è equivalente ad \( \mathrm A\) , e si scrive: \( \mathrm B \tilde \mathrm A \) se esistono due matrici \( \mathrm P\) e \( \mathrm Q\) tali per cui si ha: $$ \mathrm B = \mathrm{PAQ} $$

La relazione di equivalenza tra matrici è una relazione di equivalenza nel senso classico, ossia è simmetrica, riflessiva e transitiva: $$ \mathrm A \tilde \mathrm B \iff \mathrm B \tilde \mathrm A $$ $$ \mathrm A \tilde \mathrm A $$ $$ \mathrm A \tilde \mathrm B e \mathrm B \tilde \mathrm C \Rgihtarrow \mathrm A \tilde \mathrm C $$

$$ \diamond $$
Il teorema sulle matrici equivalenti

Per le matrici equivalenti, vale il seguente risultato, che per ora ci accenno (successivamente aggiungerò la dimostrazione)

Prendiamo una matrice quadrata \( \mathrm A \in \mathbb M^{n\times n} \). COnsideriamo la sottomatrice identica \( \mathrm I_m \) avente tante righe e tante colonne fino ad \( m\) e zeri altrove. La matrice \( \mathrm A \) è equivalente alla matrice \( \mathrm I_m \): \( \mathrm {A\tilde B} \) se e solo se: il rango della matrice \( \mathrm I \) è uguale al rango della matrice \( \mathrm A \).

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