Matrice identica

Una matrice identica o identità o anche unità è una particolare matrice quadrata formata da tutti \( 0 \) tranne che sulla diagonale principale in cui compaiono solo \( 1\). Una caratteristica della matrice identica è il suo ordine che corrisponde alla dimensione del numero di righe o di colonne (dal momento che sono uguali e quindi l'una vale l'altra). Esistono matrici identiche di qualunque ordine 1, 2, 3.... N. Per indicare una matrice identica si usa di solito la lettera \( I\) con ad esponente l'ordine della matrice. Di seguito sono mostrati alcuni esempi di matrici identiche.

$$ \color{#333333}{I^1 = I = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}} $$
$$ \color{#333333}{I^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} $$
$$ \color{#333333}{I^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} $$
$$ \color{#333333}{I^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}} $$

Non esistono matrici identiche non quadrate, perchè altrimenti non sarebbe definita alcuna diagonale principale. le matrici identiche sono sempre e solo matrici quadrate. Ovviamente vale la seguente proprietà del prodotto tra matrici quadrate, $$ A \cdot I = I \cdot A = A $$ che conferisce alla matrice identica la proprietà di essere elemento neutro del prodotto di matrici.


Notazione delta

Se consideriamo la delta di Kronecker \( \delta_{ij} \), possiamo esprimere una matrice identica in un modo semplicissimo: $$ {\Large \left\{ \delta_{ij} \right\} } $$ Il significato di questa notazione va interpretato nel modo seguente: ciascun elemento \( a_{ij} = \delta_{ij} \). Ora come ricorderete (e se non lo ricordate andatevi a ripetere la definizione della delta di Kronecker) essa vale \(1\) solo se \(i=j\), \(0\) altrimenti; quindi abbiamo, ad esempio per una \(I^3\): $$ \color{#333333}{I^3 = \begin{pmatrix} \delta_{ij} & \delta_{ij} & \delta_{ij} \\ \delta_{ij} & \delta_{ij} & \delta_{ij} \\ \delta_{ij} & \delta_{ij} & \delta_{ij} \end{pmatrix}} $$ Se esplicitiamo le condizioni di uguaglianza degli indici nella matrice abbiamo che: $$ \color{#333333}{ \begin{pmatrix} i=j& i\neq j & i\neq j \\ i\neq j&i=j & i\neq j \\ i\neq j & i\neq j & i=j \end{pmatrix}} $$ Di conseguenza la delta assumerà valore \(1\) solo sulla diagonale e \(0\) altrove in accordo con la definizione di matrice indentica.
$$ \diamond $$
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