Invarianza per trasposizione

$$ det(\mathrm A) = det(\mathrm A^T) $$

Questa proprietà stabilisce che il determinante di una matrice e della sua trasposta è lo stesso. La trasposta, ricordo, si ottiene scambiando le righe con le colonne; ebbene, come vedremo il determinante non risente di questo scambio righe-colonne, si dice anche che è invariante per trasposizione.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

Per dimostrare la regola, prendiamo, per semplicità, una matrice \( 3\cdot 3\) (lo stesso vale in generale) \( \mathrm A\) e calcoliamoci la sua trasposta \( \mathrm A^T \) $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \hspace{1mm} \rightarrow \hspace{1mm} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \hspace{1mm} \rightarrow \hspace{1mm} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} $$ $$ \small \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \hspace{1mm} \rightarrow \hspace{1mm} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} $$ Sviluppiamo ora i due determinanti, ad esempio con il metodo di Laplace scegliendo ad esempio la prima riga: Per la prima matrice avremo che: $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ $$ \downarrow $$ $$ \small a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = $$ $$ = a_{11}\Bigl( a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23} \Bigr) - a_{12}\Bigl( a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23} \Bigr) + a_{13}\Bigl( a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22} \Bigr) = $$ $$ = \Bigl( a_{11}a_{22}a_{33} \Bigr) - \Bigl( a_{11}a_{32}a_{23} \Bigr) - \Bigl( a_{12}a_{21}a_{33} \Bigr) + \Bigl( a_{12}a_{31}a_{23} \Bigr) + \Bigl( a_{13}a_{21}a_{32}\Bigr) - \Bigl( a_{13}a_{31}a_{22} \Bigr) $$ $$ = a_{11}\Bigl( a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23} \Bigr) - a_{12}\Bigl( a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23} \Bigr) + a_{13}\Bigl( a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22} \Bigr) = $$ $$ = \Bigl( a_{11}a_{22}a_{33} \Bigr) - \Bigl( a_{11}a_{32}a_{23} \Bigr) - \Bigl( a_{12}a_{21}a_{33} \Bigr) + \Bigl( a_{12}a_{31}a_{23} \Bigr) + \Bigl( a_{13}a_{21}a_{32}\Bigr) - \Bigl( a_{13}a_{31}a_{22} \Bigr) $$ $$ = a_{11}\Bigl( a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23} \Bigr) + \\ - a_{12}\Bigl( a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23} \Bigr) + \\ + a_{13}\Bigl( a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22} \Bigr) = $$ $$ = \Bigl( a_{11}a_{22}a_{33} \Bigr) - \Bigl( a_{11}a_{32}a_{23} \Bigr) + \\ - \Bigl( a_{12}a_{21}a_{33} \Bigr) + \Bigl( a_{12}a_{31}a_{23} \Bigr) + \\ + \Bigl( a_{13}a_{21}a_{32}\Bigr) - \Bigl( a_{13}a_{31}a_{22} \Bigr) $$ Per la matrice trasposta avremo: $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{32} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{21}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{32} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{31}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix} = $$ $$ = a_{11}\Bigl( a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \Bigr) - a_{21}\Bigl( a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32} \Bigr) + a_{31}\Bigl( a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22} \Bigr) = $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{32} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{21}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{32} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{31}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix} = $$ $$ = a_{11}\Bigl( a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \Bigr) - a_{21}\Bigl( a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32} \Bigr) + a_{31}\Bigl( a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22} \Bigr) = $$ $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \small a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{32} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{21}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{32} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{31}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix} = $$ $$ = a_{11}\Bigl( a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \Bigr) + \\ - a_{21}\Bigl( a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32} \Bigr) + \\ + a_{31}\Bigl( a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22} \Bigr) = $$ $$ = \Bigl( a_{11}a_{22}a_{33} \Bigr) - \Bigl( a_{11}a_{23}a_{32} \Bigr) - \Bigl( a_{21}a_{12}a_{33} \Bigr) + \Bigl( a_{21}a_{13}a_{32} \Bigr) + \Bigl( a_{31}a_{12}a_{23} \Bigr) - \Bigl( a_{31}a_{13}a_{22}\Bigr) \hspace{1cm}_\square $$ $$ = \Bigl( a_{11}a_{22}a_{33} \Bigr) - \Bigl( a_{11}a_{23}a_{32} \Bigr) - \Bigl( a_{21}a_{12}a_{33} \Bigr) + \Bigl( a_{21}a_{13}a_{32} \Bigr) + \Bigl( a_{31}a_{12}a_{23} \Bigr) - \Bigl( a_{31}a_{13}a_{22}\Bigr) \hspace{1cm}_\square $$ $$ = \Bigl( a_{11}a_{22}a_{33} \Bigr) - \Bigl( a_{11}a_{23}a_{32} \Bigr) + \\ - \Bigl( a_{21}a_{12}a_{33} \Bigr) + \Bigl( a_{21}a_{13}a_{32} \Bigr) + \\ + \Bigl( a_{31}a_{12}a_{23} \Bigr) - \Bigl( a_{31}a_{13}a_{22}\Bigr) \hspace{1cm}_\square $$

Come vedete i termini ottenuti, sono identici. Il motivo è che la trasposizione, provoca, nei termini degli spostamenti o permutazioni, che, operando all'interno di un campo in cui valgono le consuete proprietà commutativa, associativa ecc... non alterano il risultato finale. Resta dunque dimostrata, con estrema semplicità l'invarianza per trasposizione.

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