Matrice inversa

Sempre restando nell'ambito delle matrici quadrate, in questa sezione vi spiego cosa sono le matrici inverse. Data una matrice \( \mathrm A\) quadrata, si dice inversa di \( \mathrm A\) e si indica con il simbolo \( \mathrm A^{-1}\), un'altra matrice quadrata tale per cui valga la seguente relazione: $$ \mathrm A \mathrm A^{-1} = \mathrm I$$

Cioè effettuando il prodotto tra una matrice e la sua inversa, si ottiene la matrice identica. L'idea è del tutto analoga a al prodotto elementare tra numeri; infatti moltiplicando un numero per il suo inverso si ottiene l'elemento neutro del prodotto, oppure tra funzioni (effettuando una composizione di una fuunzione con l'inversa, si ottiene l'identità), ecc... Possiamo quindi affermare che, l'insieme delle matrici quadrate è un gruppo unitario rispetto al prodotto, e che la, matrice identica è l'elemento neutro del prodotto di matrici.

Regola:

Una matrice è invertibile, cioè esiste la sua inversa, se il suo determinante è diverso da zero (la matrice si dice non singolare

Consideriamo quindi ad esempio una matrice quadrata \( \mathrm A \) e supponiamo che il suo determinante sia diverso da zero (\( det\mathrm A \neq 0\)) $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{Vmatrix} \hspace{2cm}t.c.\hspace{5mm} det(\mathrm A) = \begin{vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{vmatrix} \neq 0 $$ $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{Vmatrix} \hspace{2cm}t.c.\hspace{5mm} det(\mathrm A) = \begin{vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{vmatrix} \neq 0 $$ $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{Vmatrix} \hspace{2cm}t.c. $$ $$ det(\mathrm A) = \begin{vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{vmatrix} \neq 0 $$ Allora è possibile calcolare la matrice inversa attraverso il seguente procedimento: Moltiplico la trasposta della matrice dei complementi algebrici per l'inverso del determinante: $$ \mathrm A^{-1} = {1 \over det(\mathrm A)}\begin{vmatrix} C(a)&C(d)&C(g) \\ C(b)&C(e)&C(h) \\ C(c)&C(f)&C(i) \end{vmatrix} $$

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