Arrivati a questo punto, possiamo, con le nozioni acquisite, enunciare il metodo generale di Laplace.
Questo metodo o algoritmo di calcolo del determinante di una matrice quadrata, dovuto a Laplace è applicabile a qualunque matrice
e rappresenta il metodo principale per la risoluzione dei determinanti.
Consideriamo una matrice quadrata \(\mathrm A\). La regola dello sviluppo del determinante dice:
Regola di Laplace
Il determinante di \(\mathrm A\), si ottiene come somma di prodotti di tutti gli elementi di una qualunque riga o colonna (\( k, k=1...n \)) di \(\mathrm A\), moltiplicati per i relativi complementi algebrici: Le due formule sono assolutamente equivalenti.
$$ det(\mathrm A)_k = \sum_{j=1}^n \mathrm C(a_{kj})a_{kj} $$ riga
$$ det(\mathrm A)_k = \sum_{i=1}^n \mathrm C(a_{ik})a_{ik} $$ colonna
Ad esempio supponiamo di voler calcolare il determinante di ordine \( 3 \) della seguente matrice. Applichiamo il metodo rispetto alla prima riga (la scelta è libera).
$$ \mathrm A =
\begin{Vmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{Vmatrix} \longrightarrow \hspace{3cm} \begin{vmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{vmatrix} = \sum_{j=1}^3 \mathrm C(a_{kj})a_{kj}
$$
$$ \mathrm A =
\begin{Vmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{Vmatrix} \longrightarrow \hspace{3cm} \begin{vmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{vmatrix} = \sum_{j=1}^3 \mathrm C(a_{kj})a_{kj}
$$
$$ \mathrm A =
\begin{Vmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{Vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{vmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{vmatrix} = \sum_{j=1}^3 \mathrm C(a_{kj})a_{kj}
$$
Calcoliamoci i tre complementi algebrici degli elementi della prima riga:
$$ \mathrm C(a) = \underset{\underset{1+1}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei-hf \hspace{2cm}
\mathrm C(b) = \underset{\underset{1+2}{\uparrow}}{-}\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = gf-di \hspace{2cm}
\mathrm C(c) = \underset{\underset{1+3}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh-ge $$
$$ \mathrm C(a) = \underset{\underset{1+1}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei-hf \hspace{2cm}
\mathrm C(b) = \underset{\underset{1+2}{\uparrow}}{-}\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = gf-di \hspace{2cm}
\mathrm C(c) = \underset{\underset{1+3}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh-ge $$
$$ \mathrm C(a) = \underset{\underset{1+1}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei-hf \hspace{2cm} $$
$$ \mathrm C(b) = \underset{\underset{1+2}{\uparrow}}{-}\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = gf-di \hspace{2cm} $$
$$ \mathrm C(c) = \underset{\underset{1+3}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh-ge $$
A questo punto, moltiplichiamo i complementi algebrici per gli elementi della righa e sommiamo per ottenere il determinante:
$$ a\mathrm C(a) + b\mathrm C(b) + c\mathrm C(c) = a(ei-hf) + b(gf-di) + c(dh-ge) = $$
$$ = aei - ahf + bgf - bdi +cdh - cge $$
$$ a\mathrm C(a) + b\mathrm C(b) + c\mathrm C(c) = a(ei-hf) + b(gf-di) + c(dh-ge) = $$
$$ = aei - ahf + bgf - bdi +cdh - cge $$
$$ \small a\mathrm C(a) + b\mathrm C(b) + c\mathrm C(c) = $$ $$ = a(ei-hf) + b(gf-di) + c(dh-ge) = $$
$$ = aei - ahf + bgf - bdi +cdh - cge $$
Confrontando il risultato, con quanto visto precedentemente rispetto agli altri metodi elementari, possiamo concludere che i termini ottenuti sono uguali, e quindi il calcolo del determinante è corretto.
Il teorema di Laplace, è di cruciale importanza quando l'ordine della matrice è superiore a \( 4 \).
Il motivo è legato al fatto si tratta di un algoritmo cosiddetto ricorsivo, di facile implementaizone su un elaboratore elettroinco - inoltre trasforma un problema di ordine \( n\) in uno di ordine \( n-1\), perchè come visto, calcolare un determinante di ordine \( 3\), si riconduce a calcolare 3 determinanti di ordine \( 2\).
La scelta intelligente
Questa libertà di scelta di una qualsiasi riga o colonna, nella matrice, ci porta a scegliere le righe per cui l'algoritmo si ottimizza a livello di tempisica e di calcoli. La domanda da porci è: quale riga o colonna scegliere per sviluppare l'algoritmo? E' la risposta è triviale! Naturalmente quella per cui il procedimento è ridotto al minimo, ossia quella con il massimo numero di \( 0\), i quali annullano (nel prodotto) i termini della formula di Laplace.
