Metodo di Laplace

Arrivati a questo punto, possiamo, con le nozioni acquisite, enunciare il metodo generale di Laplace. Questo metodo o algoritmo di calcolo del determinante di una matrice quadrata, dovuto a Laplace è applicabile a qualunque matrice e rappresenta il metodo principale per la risoluzione dei determinanti.

Consideriamo una matrice quadrata \(\mathrm A\). La regola dello sviluppo del determinante dice:

Regola di Laplace

Il determinante di \(\mathrm A\), si ottiene come somma di prodotti di tutti gli elementi di una qualunque riga o colonna (\( k, k=1...n \)) di \(\mathrm A\), moltiplicati per i relativi complementi algebrici: Le due formule sono assolutamente equivalenti.
$$ det(\mathrm A)_k = \sum_{j=1}^n \mathrm C(a_{kj})a_{kj} $$ riga
$$ det(\mathrm A)_k = \sum_{i=1}^n \mathrm C(a_{ik})a_{ik} $$ colonna

Ad esempio supponiamo di voler calcolare il determinante di ordine \( 3 \) della seguente matrice. Applichiamo il metodo rispetto alla prima riga (la scelta è libera). $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{Vmatrix} \longrightarrow \hspace{3cm} \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = \sum_{j=1}^3 \mathrm C(a_{kj})a_{kj} $$ $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{Vmatrix} \longrightarrow \hspace{3cm} \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = \sum_{j=1}^3 \mathrm C(a_{kj})a_{kj} $$ $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{Vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = \sum_{j=1}^3 \mathrm C(a_{kj})a_{kj} $$ Calcoliamoci i tre complementi algebrici degli elementi della prima riga:

$$ \mathrm C(a) = \underset{\underset{1+1}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei-hf \hspace{2cm} \mathrm C(b) = \underset{\underset{1+2}{\uparrow}}{-}\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = gf-di \hspace{2cm} \mathrm C(c) = \underset{\underset{1+3}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh-ge $$ $$ \mathrm C(a) = \underset{\underset{1+1}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei-hf \hspace{2cm} \mathrm C(b) = \underset{\underset{1+2}{\uparrow}}{-}\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = gf-di \hspace{2cm} \mathrm C(c) = \underset{\underset{1+3}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh-ge $$ $$ \mathrm C(a) = \underset{\underset{1+1}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei-hf \hspace{2cm} $$ $$ \mathrm C(b) = \underset{\underset{1+2}{\uparrow}}{-}\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = gf-di \hspace{2cm} $$ $$ \mathrm C(c) = \underset{\underset{1+3}{\uparrow}}{+}\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh-ge $$

A questo punto, moltiplichiamo i complementi algebrici per gli elementi della righa e sommiamo per ottenere il determinante:

$$ a\mathrm C(a) + b\mathrm C(b) + c\mathrm C(c) = a(ei-hf) + b(gf-di) + c(dh-ge) = $$ $$ = aei - ahf + bgf - bdi +cdh - cge $$ $$ a\mathrm C(a) + b\mathrm C(b) + c\mathrm C(c) = a(ei-hf) + b(gf-di) + c(dh-ge) = $$ $$ = aei - ahf + bgf - bdi +cdh - cge $$ $$ \small a\mathrm C(a) + b\mathrm C(b) + c\mathrm C(c) = $$ $$ = a(ei-hf) + b(gf-di) + c(dh-ge) = $$ $$ = aei - ahf + bgf - bdi +cdh - cge $$
Confrontando il risultato, con quanto visto precedentemente rispetto agli altri metodi elementari, possiamo concludere che i termini ottenuti sono uguali, e quindi il calcolo del determinante è corretto.

Il teorema di Laplace, è di cruciale importanza quando l'ordine della matrice è superiore a \( 4 \). Il motivo è legato al fatto si tratta di un algoritmo cosiddetto ricorsivo, di facile implementaizone su un elaboratore elettroinco - inoltre trasforma un problema di ordine \( n\) in uno di ordine \( n-1\), perchè come visto, calcolare un determinante di ordine \( 3\), si riconduce a calcolare 3 determinanti di ordine \( 2\).

La scelta intelligente
Questa libertà di scelta di una qualsiasi riga o colonna, nella matrice, ci porta a scegliere le righe per cui l'algoritmo si ottimizza a livello di tempisica e di calcoli. La domanda da porci è: quale riga o colonna scegliere per sviluppare l'algoritmo? E' la risposta è triviale! Naturalmente quella per cui il procedimento è ridotto al minimo, ossia quella con il massimo numero di \( 0\), i quali annullano (nel prodotto) i termini della formula di Laplace.

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