Molteplicita

$$ \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{11}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#009999}{a_{21}} & \color{#009999}{a_{21}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#009999}{a_{n1}} & \color{#009999}{a_{n1}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0 $$ $$ \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{11}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#009999}{a_{21}} & \color{#009999}{a_{21}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#009999}{a_{n1}} & \color{#009999}{a_{n1}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0 $$ $$ \small \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{11}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#009999}{a_{21}} & \color{#009999}{a_{21}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#009999}{a_{n1}} & \color{#009999}{a_{n1}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0 $$

Il determinante di una matrice che ha due righe o due colonne identiche è zero.

Questa è una proprietà molto importante, che mette in luce una caratteristica peculiare dei determinanti; ossia, che essi sono dei "segnalatori" di dipendenza lineare, in quanto risentono del fatto che una riga o una colonna sia un multiplo di un'altra.

Questo può essere un "trucco" per stabilire in primis se un determinante è nullo! Basta controllare se ci sono righe e/o colonne uguali e/o multiple tra di loro

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

$$ \diamond $$
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