Matrici nilpotenti

Nel mondo delle matrici accadono cose strane... di solito siamo abituati a pensare che la matematica, ed in particolare l'algebra sia un insieme di regole fisse, immutabili. Adesso vi mostro un fatto apparentemente strano che succede con le matrici, mostrando che le cose non sono sempre come si pensi siano...

Consideriamo la seguente matrice \( \neq 0\)

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Questa matrice, ci siete che non è nulla. Siccome c'è un \( 1\) in posizione \( [1, 2] \) (in alto a destra) la matrice non è la matrice nulla. Ora osservate cosa accade se proviamo ad elevare questa matrice al quadrato, ossia svolgiamo il prodotto di questa matrice per se stessa (secondo la definizione di prodotto di matrici vista in precedenza)

$$ A^2 = AA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ A^2 = AA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ A^2 = AA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 $$

Perbacco! Abbiamo ottenuto zero (la matrice nulla). Com'è possibile che il prodotto di due cose diverse da zero dia come risultato zero??

$$ \diamond $$

Queste matrici si chiamano matrici nilpotenti, per esse vale la proprietà: $$ \large A^n = 0, A \neq 0 $$

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