Omogeneità del prodotto

$$ det(\mathrm {AB}) = det(\mathrm A) det(\mathrm B) $$

Il determinante del prodotto di due matrici è pari al prodotto dei determinanti delle matrici. Vi faccio osservare che sia la matrice \( \mathrm A\), sia \( B\), devono essere due matrici quadrate.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

Consideriamo due matrici \( 2 \cdot 2\) (visto che il calcolo è abbastanza laborioso) \( \mathrm A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \) e \( \mathrm B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)

Calcoliamoci i determinanti delle due matrici: $$ det(\mathrm A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \hspace{5mm} det(\mathrm b) = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} $$ Eseguiamo il prodotto dei determinanti per calcolare il membro di destra della relazione: $$ det(\mathrm A)\cdot det(\mathrm B) \hspace{2mm} = \hspace{2mm} \Bigr( a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \Bigl) \cdot \Bigr( b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} \Bigl) \hspace{2mm} = \hspace{2mm} a_{11}a_{22}b_{11}b_{22} - a_{11}a_{22}b_{12}b_{21} - a_{12}a_{21}b_{11}b_{22} + a_{12}a_{21}b_{12}b_{21} $$

Abbiamo ottenuto \( 4\) termini. Proviamo ora a calcolare il prodotto tra le due matrici: $$ \mathrm A \mathrm B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} $$ Applichiamo la regola del determinante di ordine \( 2\) e moltiplichiamo la diagonale principale meno la diagonale secondaria: $$ \Bigl(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\Bigr) \Bigl( a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\Bigr) - \Bigl( a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} \Bigr) \Bigl( a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \Bigr) = $$ $$ \require{cancel} = \bcancel{a_{11}b_{11}a_{21}b_{12}} + a_{11}b_{11}a_{22}b_{22} + a_{12}b_{21}a_{21}b_{12} + \bcancel{a_{12}b_{21}a_{22}b_{22}} \bcancel{-a_{21}b_{11}a_{11}b_{12}} -a_{21}b_{11}a_{12}b_{22} - a_{22}b_{21}a_{11}b_{12} \bcancel{-a_{22}b_{21}a_{12}b_{22}} $$ $$ \square $$ Osservate che i termini ottenuti sono identici. E questo basta per dimostrare l'asserto.

BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath