Prodotto di matrici

Siamo giunti all'operazione "elementare" più sofisticata dell'algebra delle matrici. "Il prodotto di matrici". Anzitutto devo fare una premessa. Non possiamo moltiplicare le matrici come ci pare e piace. Il prodotto è molto restrittivo. Si possono moltiplicare solo matrici (compatibili con il prodotto), inoltre, fate attenzione che il prodotto di matrici non è commutativo quindi in generale \( AB \neq BA \).

$$ \diamond $$

Consideriamo due matrici (espresse in forma compatta) \( A = \{a_{ij}\} \) e \( B = \{b_{ij}\} \). La matrice prodotto \( C = BA \) è quella matrice i cui elementi \( c_{ij} \) sono dati dalla seguente formula: $$ \large c_{ij} = \sum_{l=1}^r b_{il}a_{lj} $$

$$ \diamond $$

Il prodotto righe per colonne

Per facilitare l'algoritmo del prodotto di matrici, introduciamo il concetto di prodotto righe per colonne, cioè impariamo a moltiplicare una riga per una colonna, questo ci servirà sia per capire il prodotto di matrici, sia per tutto il seguito. Consideriamo due vettori: (uno riga \( v\)) ed (uno colonna \( w \)): Il prodotto di \( v\cdot w\) si ottiene (come caso particolare della formula in alto), moltiplicando la componente i-esima corrispondente di ogni vettore e sommando tutto: $$ v\cdot w = \sum_{i=1}^n v_iw_i = v_1w_1 + v_2w_2 + \ldots + v_nw_n $$ $$ v\cdot w = \sum_{i=1}^n v_iw_i = v_1w_1 + v_2w_2 + \ldots + v_nw_n $$ $$ v\cdot w = $$ $$ = \sum_{i=1}^n v_iw_i = v_1w_1 + v_2w_2 + \ldots + v_nw_n $$ In questo modo, osservate che \( c_{ij}\) è il prodotto della riga \( i\) per la colonna \( j\).

$$ \diamond $$

Matrici compatibili

Vi avevo accennato al fatto che due matrici per potersi moltiplicare devono essere compatibili. Cosa significa "compatibili". Per come abbiamo definito il prodotto righe per colonne, due matrici sono compatibili (per prodotto) se il numero di colonne \( n\) della prima matrice è pari al numero di righe \(m\) della seconda matrice \( n=m \). Non potete moltiplicare ad esempio una matrice \( 3\cdot 2\) per una matrice \( 4\cdot 2\), potete invece moltiplicare una matrice \( 3\cdot 2 \) con una matrice \( 2 \cdot 5 \). Il risultato sarà una matrice \( 3\cdot 5\). Le figure in basso riassumono quanto detto.

Prodotto di matrici

Prodotto di matrici

Prodotto di matrici

Prodotto di matrici


$$ \diamond $$
BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath