Rango di una matrice

Il concetto di rango è legato essenzialmente all'idea di dipendenza ed indipendenza lineare.

Consideriamo una matrice qualunque (non è detta che sia quadrata) \( \mathbb A \in \mathbb M^{m\times n} \) ad \( n \) colonne. Chiamiamo rango della matrice (per colonne), il numero massimo di colonne linearmente indipendenti

Indicheremo il rango di una matrice con la lettera greca \( \rho \). Pertanto l'operatore \( \rho() \) applicato ad una matrice restituisce il rango della matrice stessa. Possiamo vedere \( \rho \) come una funzione definita sullo spazio delle matrici \( m\times n\) a valori in \( \mathbb N^{\times} \) (il rango è un valore strettamente positivo). $$ \rho: \mathbb M^{m\times n} \rightarrow \mathbb N^{\times} $$ Vedremo, quando parleremo di sistemi lineari e riduzione di Gauss, che il rango giocherà un ruolo centrale, nella trattaizone di questi argomenti, per ora mi limiterò semplicemente a darne alcune nozioni elementari ed introduttive.

Invarianza del rango

Esiste una stretta relazione tra applicazioni lineari e sistemi lineari ed il collante che mette tutto insieme sono le matrici. COnsideriamo uno spazio vettoriale \( n\)-dimensionale \( \mathrm V \) definito su un campo \( \mathrm K \). Consideriamo un'applicazione lineare (o trasformazione \( f\) ) definita su questo spazio, la cui matrice associata è \( \mathrm A\). Allora il rango di \( f\) coincide con il rango per colonne di \( \mathrm A\) $$ \rho(f) = \rho(\mathrm A) $$ La cosa sorprendente è che il tutto non cambia se al posto delle colonne scegliessimo le righe e quindi considerassimo il rango per righe.

HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath