Riscalamento

$$ \begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ ka_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ ka_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = $$ $$ \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ ka_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = $$ $$ k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

Se una riga oppure una colonna in una matrice, è moltiplicata per una costante \( k\) reale o complessa, allora il suo determinante è uguale al prodotto di quella costante per il determinante della matrice di partenza (senza il prodotto con \( k\)).

Se indichiamo la matrice che ha una riga moltiplicata per \(k\) con il nome \( \overset{k}{\overline{\mathrm A}}\), mentre la matrice che ha una colonna moltiplicata per \( k \) con \( \mathrm A|_{k} \), allora la formula si può esprimere più semplicemente come: $$ det\Biggl(\overset{k}{\overline{\mathrm A}}\Biggr) = det(\mathrm A|_{k}) = kdet(\mathrm A) $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

$$ \diamond $$
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