Matrici a scala

Una matrice a scala è una matrice in cui compaiono degli zeri in determinate posizioni a formare una "scala" come in figura:

matrice a scala

In una matrice a scala assumono un ruolo estremamente importante gli elementi indicati con l'asterisco \( * \) , su ogni riga dopo gli zeri. Questi elementi si chiamano pivots e sono per definizione diversi da zero: \( * \neq 0 \). (Un pivot non può essere nullo!). Questi pivots li vedremo più in azione quando impiegheremo il metodo di eliminazione di Gauss per risolvere i sistemi lineari, per adesso considerateli banalmente come elementi non nulli.

Gli elementi che compaiono dopo i pivot che ho indicato con il simbolo \( \heartsuit\) possono valere qualsiasi cosa, anche \( 0\); devono essere \( 0\), invece, gli elementi a sinistra e sotto i pivots (sotto la diagonale principale); di conseguenza tutte le matrici che vedete di seguito, sono esempi di matrici a scala.

$$ \begin{pmatrix} 0 & * & \heartsuit & \heartsuit \\ 0 & 0 & * & \heartsuit \\ 0 & 0 & * & \heartsuit \\ 0 & 0 & 0 & * \\ \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} * & \heartsuit & \heartsuit & \heartsuit \\ 0 & 0 & * & \heartsuit \\ 0 & 0 & * & \heartsuit \\ 0 & 0 & 0 & * \\ \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$
$$ \diamond $$

Il metodo di Gauss, consiste nel trasformare una matrice, dalla forma originale ad una forma "equivalente (in rango)" ma a scala. Infatti non possiamo mettere degli zeri a piacere noi direttamente, perché così facendo cambiamo tutta la matrice. Il metodo di Gauss, preserva le caratteristiche intrinseche della matrice (vedi rango) operando con le mosse viste in precedenza. Naturalmente il saper risolvere a mano una riduzione a scala è un esercizio di comprensione, nella realtà si impiegano dei software di calcolo tipo Matlab, Maple ecc.

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