Scambio

$$ \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \color{#ff00ff}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & \color{#ff00ff}{a_{2n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \color{#ff00ff}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & \color{#ff00ff}{a_{2n}}\\ \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#ff00ff}{a_{12}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#009999}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#009999}{a_{n1}} & \color{#ff00ff}{a_{n2}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \color{#ff00ff}{a_{12}} & \color{#009999}{a_{11}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#ff00ff}{a_{22}} & \color{#009999}{a_{21}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#ff00ff}{a_{n2}} & \color{#009999}{a_{n1}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \color{#ff00ff}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & \color{#ff00ff}{a_{2n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \color{#ff00ff}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & \color{#ff00ff}{a_{2n}}\\ \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#ff00ff}{a_{12}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#009999}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#009999}{a_{n1}} & \color{#ff00ff}{a_{n2}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \color{#ff00ff}{a_{12}} & \color{#009999}{a_{11}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#ff00ff}{a_{22}} & \color{#009999}{a_{21}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#ff00ff}{a_{n2}} & \color{#009999}{a_{n1}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
$$ \small \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \color{#ff00ff}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & \color{#ff00ff}{a_{2n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \color{#ff00ff}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & \color{#ff00ff}{a_{2n}}\\ \color{#009999}{a_{11}} & \color{#009999}{a_{12}}& \ldots & \color{#009999}{a_{1n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
$$ \small \begin{vmatrix} \color{#009999}{a_{11}} & \color{#ff00ff}{a_{12}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#009999}{a_{21}} & \color{#ff00ff}{a_{22}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#009999}{a_{n1}} & \color{#ff00ff}{a_{n2}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \color{#ff00ff}{a_{12}} & \color{#009999}{a_{11}}& \ldots & a_{1n}\\ \color{#ff00ff}{a_{22}} & \color{#009999}{a_{21}}& \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \color{#ff00ff}{a_{n2}} & \color{#009999}{a_{n1}} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

La regola dello scambio è fondamentale. Ricorre spesso in molte applicazioni. Essa dice che se scambiamo due righe o due colonne, quello che accade al determinante è un semplice cambio di segno.

Detto in altri termini: se calcolo il determinante di una matrice; e poi calcolo il determinante della stessa matrice, però dopo aver scambiato di posizione due righe o due colonne, il risultato è lo stesso valore cambiato di segno

$$ \diamond\diamond\diamond $$
DIMOSTRAZIONE

$$ \diamond $$
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