Se proviamo a disporre su una matrice, i segni dei complementi algebrici, ottenuti a partire dai singoli elementi della matrice, quello che otteniamo è una tabella "a scacchiera", con segni i alterni, sia sulle righe che sulle colonne, come mostrato di seguito. Questa tabella è nota con il nome di: matrice dei segni
Proviamo a scrivere, le matrici di segno fino al \( 4°\) ordine e vediamo di trarne alcune caratteristiche e proprietà
$$
\begin{pmatrix}
+
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
+ & - \\
- & +
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
+ & - & + \\
- & + & - \\
+ & - & +
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
+ & - & + & - \\
- & + & - & + \\
+ & - & + & - \\
- & + & - & +
\end{pmatrix}
$$
La prima osservazione, che possiamo fare, guardando agli elementi nelle matrici riguarda la disposizione dei segni. Per intenderci - se guardiamo alle matrici di ordine dispari, notiamo come il segno (+) comapare sui vertici della matrice e nel centro, mentre per le matrici di ordine pari i verici sono alterni; inoltre vi faccio osservare che, sia che si tratti di ordine pari, sia che si tratti di ordine dispari, gli elementi della diagonale principale sono sempre segni (+), (infatti siccome gli indici lungo la diagonale coincidono, la loro somma è sempre pari).
Il significato della matrice dei segni, lo abbiamo introdotto in precedenza. Ogni elemento è rappresentato da un segno, (+ o -). Il segno si ottiene semplicemente attraverso la semplice regola
- Se la somma degli indici della riga \(i\) e della colonna \( j\) è un numero pari: \( mod(i+j, 2) = 0\) allora nella posizione \( \mathrm{Sgn_{ij}} \) mettiamo un segno \(+\), altrimenti mettiamo un segno meno
Questa semplice regola, si può esprimere matematicamente, attraverso l'uso dell'elemento
indicatore di segno \( (-1)^{(i+j)} \), che rappresenta quindi, l'elemento generico della matrice:
$$ \mathrm{Sgn} = \begin{pmatrix}
(-1)^{(1+1)} & (-1)^{(1+2)} & \ldots & (-1)^{(1+j)} & \ldots & (-1)^{(1+n)} \\
(-1)^{(2+1)} & (-1)^{(2+2)} & \ldots & (-1)^{(2+j)} & \ldots & (-1)^{(2+n)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{(i+j)} & (-1)^{(i+j)} & \ldots & (-1)^{(i+i)} & \ldots & (-1)^{(i+j)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{(n+1)} & (-1)^{(n+2)} & \ldots & (-1)^{(n+j)} & \ldots & (-1)^{(n+n)}
\end{pmatrix}
$$
$$ \mathrm{Sgn} = \begin{pmatrix}
(-1)^{(1+1)} & (-1)^{(1+2)} & \ldots & (-1)^{(1+j)} & \ldots & (-1)^{(1+n)} \\
(-1)^{(2+1)} & (-1)^{(2+2)} & \ldots & (-1)^{(2+j)} & \ldots & (-1)^{(2+n)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{(i+j)} & (-1)^{(i+j)} & \ldots & (-1)^{(i+i)} & \ldots & (-1)^{(i+j)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{(n+1)} & (-1)^{(n+2)} & \ldots & (-1)^{(n+j)} & \ldots & (-1)^{(n+n)}
\end{pmatrix}
$$
$$ {\Large \mathrm{Sgn}} \\ \begin{pmatrix}
(-1)^{(1+1)} & (-1)^{(1+2)} & \ldots & (-1)^{(1+j)} & \ldots & (-1)^{(1+n)} \\
(-1)^{(2+1)} & (-1)^{(2+2)} & \ldots & (-1)^{(2+j)} & \ldots & (-1)^{(2+n)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{(i+j)} & (-1)^{(i+j)} & \ldots & (-1)^{(i+i)} & \ldots & (-1)^{(i+j)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{(n+1)} & (-1)^{(n+2)} & \ldots & (-1)^{(n+j)} & \ldots & (-1)^{(n+n)}
\end{pmatrix}
$$
Usando la matrice dei segni, per ottenere la matrice dei complementi algebrici di una matrice \(A\), basta semplicemente moltiplicare ogni elemento della matrice degli aggiunti per il corrispettivo elemento della matrice di segno.
