Sistemi lineari ed applicazioni lineari

Se conoscete la teoria delle applicazioni lineari e/o vi siete letti qualcosa a riguardo, questo paragrafo vi sembrerà ovvio. Naturalmente prima di procedere questa lettura è necessario aver ben compreso il concetto di applicazione lineare.

Avvertenza: Questo e gli altri paragrafi correlati a questo non sono indispensabili al saper risolvere gli esercizi, la trattazione che espongo è teorica. Tuttavia per una completa conoscenza dell'argomento è necessario capire il legame tra i sistemi lineari le matrici e le applicazioni lineari. Il consiglio è quello di leggere, anche se all'inizio il tutto puà sembrare poco comprensibile, vedrei, che ad una seconda lettura dopo aver compreso altri concetti il tutto risulterà assolutamente ovvio!

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Punti di vista secondo le applicazioni lineari

Cosa centrano le applicazioni lineari con i sistemi, oltre al fatto di essere entrambi lineari come da titolo? Suvvia, siamo seri ;). Dunque, la potenza dell'algebra lineare la stiamo sperimentando di paragrafo in paragrafo. Gli oggetti lneari sono tutti compatibili tra di loro, alla base di tutto ci sono le matrici, che descrivono ogni cosa, si adattano a tutto, ai sistemi lineari, alle applicazioni lineari... e molto altro che vedremo in seguito.

Ricordiamo cos'è un'applicazione lineare. Si tratta di una funzione che associa vettori a vettori. Consideriamo il nostro vettore delle incognite \( \mathrm X \). possiamo costruirci una funzione (applicazione lineare: a.l.) \( f\) che associa a questo vettore un altro vettore immagine \( f(\mathrm X) = \mathrm{AX}\)

$$ \mathrm X \equiv \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \xrightarrow{f} f(x) = \mathrm{AX = B} \in \mathbb Im(f) $$
In questo modo, la soluzione del sistema corrisponde all'antimmagine o (fibra vettoriale) di \( \mathrm B \), che indichiamo come: \( f^{-1}(\mathrm B) \).
$$ f^{-1}(\mathrm B) = \bigl\{ \mathrm X \hspace{1mm} | \hspace{1mm} f(\mathrm X) = \mathrm B \bigr\} $$

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Nucleo e sistema omogeneo

La domanda che ci poniamo è la seguente: a cosa corrisponde l'antimmagine di \( 0\) ? Se sostituiamo \( 0\) al posto di \( \mathrm B \), allora l'insieme corrisponde a: $$ f^{-1}(0) = \bigl\{ \mathrm X \hspace{1mm} | \hspace{1mm} f(\mathrm X) = 0 \bigr\} = \mathbb Ker(f) $$ Ma questo è il nucleo di \( f\)! Abbiamo scoperto un fatto assai interessante, che dimostra l'importanza del nucleo:

L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo corrisponde al nucleo di un'applicazione lineare

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