Il metodo di Cramer

Il metodo di Cramer si può applicare solo ai sistemi quadrati, quelli per cui la matrice dei coefficienti \( \mathrm A\) è una matrice quadrata (\( \mathrm A \in \mathbb M^{n\times n} \) ).

Abbiamo visto che se una matrice quadrata è non singolare (ha il determinante diverso da zero): \( \det\mathrm A \neq 0 \) allora esiste la matrice inversa \( \mathrm A^{-1} \) che risolve l'equazione \( \mathrm{AX=B} \). Il metodo di Cramer è una diretta conseguenza di questo fatto. Sapendo che la soluzione è \( X = A^{-1}B \) abbiamo che:

$$ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n \frac{b_k A_{k1}}{\det A}\\ .\\ .\\ .\\ \sum_{k=1}^n \frac{b_k A_{kn}}{\det A} \end{pmatrix}$$

Dove ogni elemento \( x_i \) del vettore \( \mathrm X \) si ottiene applicando il seguente calcolo:

$$ \small x_i=\sum_{k=1}^n \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \frac{\begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ ... &... &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}}$$ $$ \small x_i=\sum_{k=1}^n \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \frac{\begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ ... &... &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}}$$ $$ \large x_i=\sum_{k=1}^n \frac{b_k A_{ki}}{\det A} $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{\begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ ... &... &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}}$$

E adesso vi riporto l'intero vettore

$$ {1 \over \begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ ... &... &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}} \begin{pmatrix} \frac{b_k A_{ki}}{\det A} = \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \\ \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \\ \vdots \\ \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$ $$ \small {1 \over \begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ ... &... &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}} \begin{pmatrix} \frac{b_k A_{ki}}{\det A} = \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \\ \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \\ \vdots \\ \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$ $$ {1 \over \begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1n} \\ ... &... &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \end{vmatrix}} \begin{pmatrix} \frac{b_k A_{ki}}{\det A} = \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \\ \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \\ \vdots \\ \frac{b_k A_{ki}}{\det A}= \begin{vmatrix} a_{11}&... &a_{1,i-1} &b_1 &a_{1,i+1} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... &... \\ a_{n1}&... &a_{n,i-1} &b_n &a_{n,i+1} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$ $$ \diamond\diamond $$

Esempio

Consideriamo ora un esempio di applicazione del metodo di Cramer. Vogliamo risolvere il seguente sistema:
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