Struttura di un sistema lineare

Un sistema lineare è sostanzialmente un insieme di equazioni (lineari) che valgono tutte contemporaneamente. Questo significa che se una soluzione, rende valida una delle equazioni, allora anche le altre devono essere valide rispetto alla stessa soluzione.

Più in generale si parla di sistema lineare di \( n\) equazioni in \( m\) incognite. e si scrive: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1m}x_n = b_{1}\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2m}x_n = b_{2}\\ \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_{m} \end{cases} $$

\( m\) rappresenta il numero di equazioni, mentre \(n\), si riferisce alle incognite.

\( a_{ij}\) si chiamano i coefficienti del sistema, mentre \( x_i\) sono le incognite. \( b_j \) invece si chiamano termini noti.

Ad esempio se considero due equazioni lineari in due incognite \( x\) ed \( y\), posso tentare di risolvere il problema di stabilire se esiste una coppia di numeri, tali per cui se sostituiti nelle equaizoni le rendono valide entrambe. Questa scrittura si indica in un modo classico, in algebra, mettendo le equazioni a parentesi graffa (a sistema). $$ \begin{cases} 2x-3y = 4 \\ x+y-1 = 0 \end{cases} $$

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