Soluzioni particolari

Facciamo un punto della situazione. Abbiamo visto che un sistema lineare in generale si può esprimere in una forma matriciale compatta. Le due versioni, sistema lineare non omogeneo (s.l.n.o.) e sistema lineare omogeneo (s.l.o.) ammettono le seguenti scritture:

$$ \large \mathrm{AX=B} \hspace{2cm} \mathrm{AX=0} $$

Che relazione susiste tra le due scritture, o meglio avendo informazioni sul sistema omogeneo, cosa possiamo dire sul sistema non omogeneo? La risposta a questa domanda ci permette di trovare un metodo per risolvere in linea generale un sistema lineare. l'idea è quella di ricondurci ai soli sistemi omogenei, perchè sono piu facili da risolvere ed attraverso essi, risalire alle soluzioni dei sistemi non omogenei. Vediamo come:

$$ \diamond $$

Supponiamo che qualcuno (magari nostro zio...) ci ha dato una soluzione particolare del sistema non omogeneo, questa soluzione la chiamiamo \( \mathrm X^* \), allora sicuramente soddisfa all'equazione \( \mathrm{AX^* = B} \). D'altra parte noi, ci siamo procurati una soluzione del sistema omogeneo ad esempio, chiamiamola \( \mathrm Y \), allora ovviamente vale \( \mathrm{AY = 0} \)

Se proviamo a sommare le due soluzioni \( X^* + Y \) cosa otteniamo? Per capirlo prociamo ad inserire la somma nell'equazione generale \(\mathrm{AX=B} \) e vedere cosa accade: $$ \mathrm{A(X^*+Y) = B} $$ $$\mathrm{AX^*} + \mathrm{AY} = \mathrm B $$

Abbiamo dimostrato con due passaggi che sommando ad una soluzinoe particolare \( \mathrm{X^*}\) del sistema lineare non omogeneo (s.l.n.o.) una soluzione \( \mathrm Y\) del sistema lineare omogeneo (s.l.o.) otteniamo le soluzioni del sistema lineare non omogeneo.

BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath