Forma sintetica secondo il formalismo matriciale

La teoria delle matrici, e tutti i medoti trattati nei capitoli precedenti, offrono la possibilità di esprimere un sistema libneare in un modo assolutamente compatti e che richiama a concetti già conosciuti (come ad esempio le equazioni di \( 1°\) grado).

La compattazione di un sistema lineare

Possiamo quindi, una volta per tutte definire alcuni oggetti in cui andare ad inserire, i coefficienti \( a_{ij}\), i termini noti \( b_{i} \) e le incognite \( x_{j} \), questi oggetti li definiamo di seguito e li utilizzeremo per tutto il prosieguo di questo corso. Mi raccomando imparateli bene!

$$ \large \mathrm A = \{a_{ij}\} \in \mathbb M^{m\times n} \hspace{1cm} \mathrm B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \in \mathbb M^{n\times 1} \hspace{1cm} \mathrm X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \in \mathbb M^{m\times 1} $$ $$ \large \mathrm A = \{a_{ij}\} \in \mathbb M^{m\times n} \hspace{1cm} \mathrm B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \in \mathbb M^{n\times 1} \hspace{1cm} \mathrm X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \in \mathbb M^{m\times 1} $$ $$ \mathrm A = \{a_{ij}\} \in \mathbb M^{m\times n} \hspace{1cm} \mathrm B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \in \mathbb M^{n\times 1} $$ $$ \mathrm X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \in \mathbb M^{m\times 1} $$

\( \mathrm A \) Si chiama la matrice dei coefficienti associata al sistema lineare. E' una matrice \( m \times n\), in cui ogni riga rappresenta tutti i coefficienti di un'equazione ed ogni colonna rappresenta i coefficienti rispetto ad una data variabile (ma questo poi lo vedermo in seguito), concetratevi per ora solo sulle righe.
\(\mathrm B\) è un vettore (matrice colonna \( m\)-dimensionale) detto vettore dei termini noti. Infine \( \mathrm X\) è un altro vettore (matrice colonna \( n\)-dimensionale) e rapprenta il vettore delle incognite (quello che stiamo cercando)

Noi, conosciamo sia \( \mathrm A\) perchè i coefficienti li estraiamo dal sistema, e sono dei numeri, sia \( \mathrm B \) i termini noti (lo dice il nome stesso ;) ). Il problema, come già detto è quello di determinare \( \mathrm X\). Ora, e quì arriva "il bello", dalla definizione del prodotto di matrici possiamo "compattare" o "sintetizzare" tutto il sistema lineare in questo modo: $$ \LARGE \mathrm{AX=B} $$

Sapete perchè questo funziona? Per il semplice fatto che ogni riga del sistema lineare è un prodotto righe per colonne, in paticolare l'equazione \( i\-esima \) corrisponde al prodotto della riga \( i\)-esima della matrice \( \mathrm A\) per l'unico vettore colonna \( \mathrm B \) (osservate come il prodotto è compatibile, infatti il numero di colonne di \( \mathrm A\) è \( m\) è lo sono anche le righe di \( \mathrm B\).

$$ \diamond $$
La risoluzione di un sistema lineare

Quello che cercheremo di fare è risolvere un qualunque sistema lineare del tipo testé definito. La semplicità del formalismo delle matrici, ci permette di operare allo stesso modo delle equazioni di primo grado. Consideriamo l'equazione matriciale generale di un sistema lineare. $$ \large \mathrm {AX = B} $$

Se quell'espressione fosse un'equazione lineare \( ax = b\), allora per trovare l'incognita \( x \), vi ricordate cosa facevate? Se \( a \neq 0 \) dividiamo tutto per \( a\). Questo corrisponde a moltiplicare tutto per \( a^{-1}\) e questo è lecito in quanto, se \( a \neq 0\) siamo sicuri che esiste l'inverso di \( a\) e la soluzione sarà: \( x = \frac{b}{a} \).

Il fatto straordinario, è che vale lo stesso principio per l'equazione matriciale. Se esiste \( \mathrm A^{-1} \) (la matrice inversa) della matrice \( \mathrm A \), possiamo moltiplicare tutto per \( \mathrm A^{-1} \) ed il gioco è fatto. L'unica differenza, anzi le uniche due differenze, per adesso, cui fare attenzione sono le seguenti:

$$ \large \overset{\mathrm I}{\overbrace{\mathrm{A^{-1}AX}}} = \mathrm{A^{-1}B} $$ $$ \large \mathrm{IX} = \mathrm{A^{-1}B} $$ $$ \Large \mathrm{X} = \mathrm{A^{-1}B} $$

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