Matrice trasposta

Consideriamo una matrice \(A \in {\mathbb M^{mn}} \). Anzi! - Consideriamo "senza perdita di generalità", in particolare una matrice \(A \in {\mathbb R^{3\cdot4}} \) a coefficienti reali. Come detto il tutto vale in generale: $$ \color{#008080}{A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ \end{pmatrix}} $$

La trasposta di \( A\) che si indica con il simbolo: \( A^{T}\) "si mette una \({\small T}\) in alto[1], si ottiene scambiando le righe con le colonne. Se la matrice di partenza \( A \in {\mathbb R^{m\cdot n}} \) allora la trasposta \( A^{T} \in {\mathbb R^{n\cdot m}} \). Notate che le dimensioni si sono scambiate. In soldoni: se la matrice di partenza aveva \(m\) righe ed \( n\) colonne, allora la sua trasposta avrà \(n\) righe e \(m\) colonne.

$$ \color{#008080}{A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} \\ \end{pmatrix}} $$

Fate attenzione a come ho ridenominato gli indici: è una scelta alquanto inusuale ma ho voluto mettre in evidenza la trasposizione: ossia il modo in cui si scambiano gli elementi nella matrice. Una volta compreso il meccanismo risulta naturale ridenominare gli indici secondo la notazione standard (e credo ciò non provochi confuzione) $$ \color{#008080}{A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \\ \end{pmatrix}} $$

ESEMPIO

data la matrice: $$ \color{#0d659c}{ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{1}{2} \\ 0 & \pi & \sqrt{2} \end{pmatrix}} $$ la sua trasposta sarà $$ \color{#0d659c}{ A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & \pi \\ \frac{1}{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix}} $$
$$ \diamond $$

Proprietà della trasposta

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