Abbiamo visto che l'unione non è in generale un sottospazio vettoriale. A tal proposito costruiamo una nuova operazione per rimediare ai problemi legati all'unione di sottospazi. introduciamo la somma di sottospazi

Consideriamo uno spazio vettoriale \( \mathbb V \) e due suoi sottospazi vettoriali. \(\mathbb W \subseteq \mathbb V, \mathbb U \subseteq \mathbb V \). Definiamo lo spazio somma:

\( (\mathbb W + \mathbb U ) \) = Il più piccolo sottospazio di \( \mathbb V\) che contiene l'unione

In pratica rimpiazzo l'unione con la somma e sono certo che si tratta di un sottospazio per definizione. Certamente nella somma trovo tutti i vettori di U e tutti i vettori di W, ma anche qualcos'altro ossia anche tutte le somme di vettori di U e di W e tutti i prodotti di un vettore per uno scalare, perchè altrimenti non sarebbe chiuso rispetto alla somma di vettori ed al prodotto per uno scalare contro la definizione di sottospazio.

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