Cambio di base

Presentiamo adesso, la formula per il cambio di base in uno spazio vettoriale. Questa formula descrive un fatto molto importante che avviene in ogni spazio vettoriale; ossia, la possibilità di cambiare "punto di vista" (o meglio, base), per modellare gli elementi dello spazio stesso. Intuitivamente, ciò che accade è che la descrizione degli elementi cambia, ma essi rimangono invariati. E' un fatto di estrema importanza, comprenderlo vi aiuterà a capire molte delle questioni che vedremo in seguito.

Consideriamo uno spazio vettoriale \( \mathrm V\) di dimensione \( n\). Ogni vettore è esprimibile come combinazione lineare di una base dello spazio ed inoltre sono definite le coordinate, che sono, sostanzialmente, le componenti della combinazione lineare stessa. Supponiamo di considerare un'altra base (ne abbiamo infinite, quindi ne scegliamo un'altra). Riportiamo le due basi:

$$ \left\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \right\} \hspace{3cm} \left\{ b_1, b_2, \ldots, b_n \right\} $$ $$ \left\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \right\} \hspace{3cm} \left\{ b_1, b_2, \ldots, b_n \right\} $$ $$ \left\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \right\} \hspace{2mm} \left\{ b_1, b_2, \ldots, b_n \right\} $$

Ogni vettore si può esprimere attraverso le due basi, ma a patto (naturalmente), che cambino le componenti nella combinazione lineare, in questo modo riesco a descrivere lo stesso oggetto in modi differenti (in modo che ad ogni insieme ordinato di componenti, corrisponde la relativa base).

$$ \mathrm V \ni v = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i = \sum_{i=1}^n \zeta_i b_i $$

Ebbene, ora arriva il passo fondamentale. Abbiamo detto che ogni vettore si esprime come combinazione lineare dei vettori di base moltiplicati per certi coefficienti. Ci siete che anche i vettori di una delle due basi sono elementi dello stesso spazio \( \mathrm V\)? Bene, possiamo esprimere (decomporre) questi vettori (ad esempio quelli della base \( e_i \) ), rispetto a quelli della base \( b_i\) in questo modo:

$$ \begin{align} e_1 = \zeta_{11} b_1 + \zeta_{12} b_2 + \ldots + \zeta_{1n} b_n \\ e_2 = \zeta_{21} b_1 + \zeta_{22} b_2 + \ldots + \zeta_{2n} b_n \\ \ldots \\ e_n = \zeta_{n1} b_1 + \zeta_{n2} b_2 + \ldots + \zeta_{nn} b_n \end{align} $$

Operando una sostituzione nella rappresentazione di \( v\) abbiamo che:

$$ v = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i = \sum_{i=1}^n \xi_i \Biggl( \sum_{k=1}^n \zeta_{ik} b_k \Biggr) = $$ $$ = \xi_1 (\zeta_{11}b_1 + \zeta_{12}b_2 + \ldots + \zeta_{1n}b_n) + \xi_2 (\zeta_{21}b_1 + \zeta_{22}b_2 + \ldots + \zeta_{2n}b_n) + \ldots + \xi_n (\zeta_{n1}b_1 + \zeta_{n2}b_2 + \ldots + \zeta_{nn}b_n) = $$ $$ = \zeta_1'b_1 + \zeta_2'b_2 + \ldots + \zeta_n'b_n $$ $$ v = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i = \sum_{i=1}^n \xi_i \Biggl( \sum_{k=1}^n \zeta_{ik} b_k \Biggr) = $$ $$ = \xi_1 (\zeta_{11}b_1 + \zeta_{12}b_2 + \ldots + \zeta_{1n}b_n) + \xi_2 (\zeta_{21}b_1 + \zeta_{22}b_2 + \ldots + \zeta_{2n}b_n) + \ldots + \xi_n (\zeta_{n1}b_1 + \zeta_{n2}b_2 + \ldots + \zeta_{nn}b_n) = $$ $$ = \zeta_1'b_1 + \zeta_2'b_2 + \ldots + \zeta_n'b_n $$ $$ v = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i = \sum_{i=1}^n \xi_i \Biggl( \sum_{k=1}^n \zeta_{ik} b_k \Biggr) = $$ $$ = \xi_1 (\zeta_{11}b_1 + \zeta_{12}b_2 + \ldots + \zeta_{1n}b_n) + \\ + \xi_2 (\zeta_{21}b_1 + \zeta_{22}b_2 + \ldots + \zeta_{2n}b_n) + \\ + \ldots + \xi_n (\zeta_{n1}b_1 + \zeta_{n2}b_2 + \ldots + \zeta_{nn}b_n) = $$ $$ = \zeta_1'b_1 + \zeta_2'b_2 + \ldots + \zeta_n'b_n $$

dove $$ \zeta_i' = \sum_{j=1}^n\xi_{ji}\zeta_j $$

rappresenta la trasformazione delle coordinate rispetto alla base \( b_i \) conoscendo le coordinate rispetto alla base \( e_i \)

$$ \diamond\diamond\diamond$$
Matrice del cambio di base

I coefficienti \( \zeta_{ij}\), presenti nell'espressione, costituiscono una matrice, detta matrice del cambio di base. $$ \mathbb{\zeta} = ||\zeta_{ij}|| $$ Questa matrice, può essere vista come una sorta di ""operatore"", che, opera un cambio di base, per l'appunto. Trasforma le coordinate di una base nelle coordinate di un'altra base. D'altra parte l'informazione utile, sono proprio le coordinate, quindi la matrice è l'oggetto essenziale che ci serve.

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