Combinazione lineare

Combinando le due operazioni di somma e prodotto per uno scalare, si introduce una nuova operazione, leggermente più sofisticata (solo leggermente), chiamata combinazione lineare. Vediamo come si costruisce. Si prendono \(n\) scalari del campo \( \mathbb K\), li indicheremo in questo modo: \( \lambda_i\), per \( i=[1, 2, \ldots, n]\), la lettera \( i\), è una sorta di "contatore", è di solito si utilizza quando si generalizza il discorso ad una dimensione arbitraria (per ora finita es: \( n\)). Presi questi scalari, prendiamo per lo stesso numero; \( n\) vettori dello spazio \( \mathrm V\).

combiniamo le due operazioni: per prima cosa, moltiplichiamo ogni scalare per un corrispettivo vettore ad esempio \( \lambda_1\cdot v_1\), in generale usando gli indici avremo: \( \lambda_i\cdot v_i\) con \( i\) da \(1\) fino ad \(n\).

se per esempio \( n=4\) avremo i seguenti prodotti (evito di mettere il punto \( \cdot\) per alleggerire la notazione): $$ \lambda_1v_1 \hspace{3mm} \lambda_2v_2 \hspace{3mm} \lambda_3v_3 \hspace{3mm} \lambda_4v_4 $$ A questo punto sommiamo questi prodotti per ottenere la loro combinazione lineare: $$ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 + \lambda_4v_4 $$ Il risultato, è ancora un elemento (vettore) di \( \mathrm V\). Questo perchè l'elemento \( \lambda_iv_i \in \mathrm V\) (il prodotto è chiuso rispetto a \( \mathrm V\)), inoltre la somma di elementi di \( \mathrm V\) è chiusa anch'essa rispetto a \( \mathrm V\), quindi tutta la combinazione lineare è chiusa in \( \mathrm V\).

Formula generale
In generale esprimiamo la combinazione lineare nel modo seguente, utilizzando il simbolo di sommatoria: $$ {\large \sum_{i=1}^n \lambda_iv_i = \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \ldots \lambda_nv_n } $$ oppure, addirittura, seguendo la convenzione di Einstein possiamo eliminare il simbolo di sommatoria (essendo implicita la somma sugli indici ripetuti). $$ \lambda_iv_i $$
$$ \diamond $$
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