Definizione di spazio vettoriale

Consideriamo un campo numerico che indicheremo con la lettera \( {\mathbb K } \). Uno spazio vettoriale \( \mathrm V\) definito sul campo \( \mathbb K\), è un insieme non vuoto dove è definita una operazione chiamata somma +, che prende due elementi di \( \mathrm V\) \(v\) e \(w\) e produce un terzo elemento \(w+v \in \mathrm V\) ed una operazione prodotto \( \cdot \) tra un elemento del campo \( \lambda \in \mathbb K \) ed un elemento dello spazio \( v \in \mathrm V\), di nuovo, appartenente \(\mathrm V\) stesso. (Gli elementi di questo insieme li chiamero vettori), ma non sono i soliti vettori (euclidei trivettori geometrici, ciò che ci immaginiamo come delle freccette), sono qualunque elemento astratto: (matrici, tensori, polinomi, funzioni, ecc... )

Queste due operazioni, devono soddisfare alle seguenti 8 proprietà, 4 per la somma e 4 per il prodotto, le quali conferiscono all'insieme \( \mathrm V\) la struttura geometrico-algebrica di spazio vettoriale o anche spazio lineare. Naturalmente bisogna imparare queste proprietà correttamente, perchè sono alla base di tutto il seguito, non sono poi così sofisticate, anche perchè lavoriamo con dei numeri, quindi il tutto risulta assai semplice...

Proprietà di spazio vettoriale


    Proprietà per la somma \( {\LARGE +}\) (Gruppo commutativo)
  • Commutativa tra vettori
    \({\large v+w=w+v}, \) \(\hspace{1cm} v \in \mathrm V, w \in \mathrm V\)

  • Associativa tra vettori
    \({\large v+(w+u)=(w+v)+u},\) \( \hspace{1cm} v \in \mathrm V, w \in \mathrm V, u \in \mathrm V\)

  • Elemento neutro
    \({\large \exists 0 \in \mathrm V | v+0=0+v=v}, \) \(\hspace{1cm}\forall v \in \mathrm V\)

  • Opposto
    \({\large \forall v \in \mathrm V \exists w \in \mathrm V | v+w=0}, \) \(\hspace{1cm} w = -v\)

    Proprietà per il prodotto per uno scalare \( {\LARGE \cdot}\)
  • Associativa mista
    \({\large (\lambda\mu) \cdot v=(\mu\lambda)\cdot v},\) \( \hspace{1cm} v \in \mathrm V, \lambda \in \mathbb K, \mu \in \mathbb K\)

  • Distributiva I
    \({\large (\lambda+\mu)\cdot v = \lambda v + \mu v}, \) \(\hspace{1cm} v \in \mathrm V, \lambda \in \mathbb K, \mu \in \mathbb K \)

  • Distributiva II
    \({\large (u + v)\cdot \lambda = \lambda u + \lambda v}, \) \(\hspace{1cm} v \in \mathrm V, u \in \mathrm V, \lambda \in \mathbb K \)

  • Neutro
    \({\large \exists 1 \in \mathbb K | v\cdot 1 = 1\cdot v = v}, \) \(\hspace{1cm}\forall v \in \mathrm V\)

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