Esempi (l.i. - l.d.)

Presentiamo alcuni esempi di risoluzione della dipendenzaed indipendenza lineare di vettori in spazi vettoriali.

ESEMPIO 1

Stabilire se i due vettori \( v_1 = (1, 2) \) e \( v_2 = (-1, 3) \) di \( \mathbb R^2 \) sono l.i. oppure l.d.

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Combinazione lineare dei vettori


Per prima cosa dobbiamo costruirci una combinazione lineare con opportuni coefficienti del campo \( \mathbb K \) e porla pari a \(0\) (zero vettore): $$ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 = 0 $$ Esplicitando i vettori con relative componenti, possiamo scrivere l'equazione della combinazione lineare in forma di colonne: $$ \lambda_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$


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Risoluzione del sistema lineare

$$ \begin{cases} \lambda_1 -\lambda_2 = 0 \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = \lambda_2 \\ 2\lambda_2 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = \lambda_2 \\ \lambda_2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 -\lambda_2 = 0 \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = \lambda_2 \\ 2\lambda_2 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = \lambda_2 \\ \lambda_2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 -\lambda_2 = 0 \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases} $$ $$\downarrow $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 = \lambda_2 \\ 2\lambda_2 + 3\lambda_2 = 0 \end{cases} $$ $$\downarrow $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 = \lambda_2 \\ \lambda_2 = 0 \end{cases} $$ Abbiamo ottenuto una soluzione unica per cui \( \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \). possiamo concludere che i due vettori \( v_1\) e \( v_2\) sono linearmente indipendenti

$$ \diamond $$
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