Come stabilire se un insieme di vettori sono l.i. oppure l.d.

Un tipico esercizio nei corsi di algebra lineare è il seguente: stabilire se dei vettori sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. Come si risolve qusto esercizio? Vediamo subito il procedimento, che risulta relativamente semplice, infati basta seguire la definizione alla lettera.

Consideriamo un insieme finito di vettori dello spazio vettoriale \( \mathrm V \): $$ v_1, v_2, v_3, ..., v_n \in \mathrm V $$ La definizione di dipendenza lineare ci dice che i vettori sono l.d. se esiste una combinazione lineare nulla a coefficienti non nulli (almeno uno non deve essere nullo), viceversa se l'unico modo per avere la c.l. nulla è quello con tutti i coefficienti nulli allora i vettori sono l.i.

Ossrvazione:

L'esercizio si risolve con uninico procedimento che ci consentirà di stabilire se i vettori sono l.i. o l.d. (visto che se vale l'uno ad esclusione non vale l'altro)

RISOLUZIONE

1

Combinazione lineare dei vettori


Per prima cosa dobbiamo costruirci una combinazione lineare con opportuni coefficienti del campo \( \mathbb K \) e porla pari a \(0\) (zero vettore): $$ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \ldots + \lambda_nv_n = 0 $$ Esplicitando i vettori con relative componenti, possiamo scrivere l'equazione della combinazione lineare in forma di colonne: $$ \lambda_1\begin{pmatrix}v_{1,1}\\v_{1,2}\\ \vdots \\v_{1,n}\end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix}v_{2,1}\\v_{2,2}\\ \vdots \\v_{2,n}\end{pmatrix} + \ldots + \lambda_n\begin{pmatrix}v_{n,1}\\v_{n,2}\\ \vdots \\v_{n,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} $$ $$ \lambda_1\begin{pmatrix}v_{1,1}\\v_{1,2}\\ \vdots \\v_{1,n}\end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix}v_{2,1}\\v_{2,2}\\ \vdots \\v_{2,n}\end{pmatrix} + \ldots + \lambda_n\begin{pmatrix}v_{n,1}\\v_{n,2}\\ \vdots \\v_{n,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} $$ $$ \lambda_1\begin{pmatrix}v_{1,1}\\v_{1,2}\\ \vdots \\v_{1,n}\end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix}v_{2,1}\\v_{2,2}\\ \vdots \\v_{2,n}\end{pmatrix} + \ldots + $$ $$ + \lambda_n\begin{pmatrix}v_{n,1}\\v_{n,2}\\ \vdots \\v_{n,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} $$


2

Risoluzione del sistema lineare


Questa equazione (ricavata al punto 1) può essere riscritta sottoforma di sistema in cui ogni equazione ha al secondo membro uno \( 0\) (scalare). Risolvendo il sistema si possono presentare due casi:

  • Una soluzione unica nulla
    Vuol dire che la combinazione lineare nulla si ottiene azzerando i coefficienti (incognite del sistema), quindi i vettori sono linearmente indipendenti

  • Infinite soluzioni
    Questo significa che la combinazione lineare nulla si ottiene in infiniti modi diversi anche con coefficienti diversi da zero e ciò vuol dire che i vettori sono linearmente dipendenti

Nelle proissime pagine risolveremo degli esempi numerici.

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